Uma pessoa assiste a um show de uma banda a 100m do centro do palco com grande satisfação. O som da canção lhe atinge os ouvidos com uma intensidade de 105dB. Assuma que a banda irradie o som como uma frente de onda em formato de um hemisfério (metade de uma esfera). (a) Qual a intensidade do som ouvida em
? (b) Qual é a potência com que a música é tocada?
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma pessoa assistindo ao show de uma banda que está a 100 metros de distância do palco. O som que chega aos ouvidos dessa pessoa tem uma intensidade de 105 decibéis (dB). A banda está emitindo o som de maneira que se espalha em forma de um hemisfério, ou seja, metade de uma esfera. Vamos precisar usar conceitos de intensidade sonora, conversão de decibéis para $ W/m^2 $, e calcular a potência total da música com base na área de propagação do som.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa intensidade sonora. A intensidade ($ I $) é a potência por unidade de área, medida em $ W/m^2 $. Os decibéis (dB) são uma escala logarítmica usada para expressar a intensidade sonora em relação a um nível de referência.
A fórmula para converter decibéis para intensidade é:
Onde:
- $ \beta $ é o nível de intensidade sonora em decibéis (dB).
- $ I $ é a intensidade em $ W/m^2 $.
- $ I_0 $ é a intensidade de referência, que é $ 10^{-12} , W/m^2 $.
Passo 3
Queremos encontrar a intensidade $ I $. Vamos rearranjar a fórmula para resolver $ I $:
Substituindo os valores:
Calculando exponentes:
Passo 4
Agora, para a parte (b), queremos descobrir a potência ($ P $) com que a música está sendo tocada. Sabemos que a potência é relacionada à intensidade e à área pela fórmula:
Onde $ A $ é a área através da qual o som está se propagando. Como a banda está irradiando o som em forma de um hemisfério, a área $ A $ de um hemisfério é:
Com $ r = 100 , m $:
Passo 5
Agora, calculamos a potência usando a intensidade que encontramos:
Arredondando, temos aproximadamente 2000 Watts.
Resposta
(a) A intensidade do som é aproximadamente $ 0.0316 , W/m^2 $.
(b) A potência com que a música é tocada é cerca de $ 2000 , W $.