Uma pessoa deitada no chão vê o topo de um poste sob um ângulo de 60 graus. Se esta pessoa estivesse deitada 15 metros mais distante da base do poste, ela veria o topo sob um ângulo de 45 graus. Determine a altura do poste. Considere raiz quadrada de 3 como sendo 1,7.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma pessoa deitada no chão que vê o topo de um poste sob um ângulo de 60 graus. Se ela se afastar 15 metros mais, o ângulo de visão diminui para 45 graus. Nosso objetivo é descobrir a altura desse poste. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona os ângulos com os lados de um triângulo retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A altura do poste é um dos catetos (h).
- A distância da pessoa ao poste é o outro cateto (x).
- O ângulo de visão do topo do poste é de 60 graus.
A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Assim, temos:
Sabemos que
, que estamos considerando como 1,7. Portanto:
Podemos reescrever essa equação para encontrar h:
Passo 3
Agora, a pessoa se afasta 15 metros, então a nova distância ao poste é
metros, e o ângulo de visão passa para 45 graus. Novamente, aplicamos a tangente:
Sabemos que
. Então:
Reescrevendo para h:
Passo 4
Agora temos duas expressões para h:
Como ambas são iguais a h, podemos igualar as duas equações:
Vamos resolver para x:
Passo 5
Agora que temos o valor de x, podemos encontrar a altura do poste usando a equação (2):
Resposta
A altura do poste é de aproximadamente 36,43 metros.