Uma pessoa deitada no chão vê o topo de um poste sob um ângulo de 60 graus. Se esta pessoa estivesse deitada 15 metros mais distante da base do poste, ela veria o topo sob um ângulo de 45 graus. Determine a altura do poste. Considere raiz quadrada de 3 como sendo 1,7.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma pessoa deitada no chão que vê o topo de um poste sob um ângulo de 60 graus. Se ela se afastar 15 metros mais, o ângulo de visão diminui para 45 graus. Nosso objetivo é descobrir a altura desse poste. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trigonometria, especificamente a função tangente, que relaciona os ângulos com os lados de um triângulo retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A altura do poste é um dos catetos (h).
  • A distância da pessoa ao poste é o outro cateto (x).
  • O ângulo de visão do topo do poste é de 60 graus.
A tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é dada pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Assim, temos:
tan(60°) = hx
Sabemos que tan(60°) = raiz3, que estamos considerando como 1,7. Portanto:
1,7 = hx
Podemos reescrever essa equação para encontrar h:
h = 1,7 times x

Passo 3

Agora, a pessoa se afasta 15 metros, então a nova distância ao poste é x + 15 metros, e o ângulo de visão passa para 45 graus. Novamente, aplicamos a tangente:
tan(45°) = hx + 15
Sabemos que tan(45°) = 1. Então:
1 = hx + 15
Reescrevendo para h:
h = x + 15

Passo 4

Agora temos duas expressões para h:
h = 1,7 times x (1)
h = x + 15 (2)
Como ambas são iguais a h, podemos igualar as duas equações:
1,7 times x = x + 15
Vamos resolver para x:
1,7x - x = 15
0,7x = 15
x = 150,7
x = 21,43 metros

Passo 5

Agora que temos o valor de x, podemos encontrar a altura do poste usando a equação (2):
h = x + 15
h = 21,43 + 15
h = 36,43 metros

Resposta

A altura do poste é de aproximadamente 36,43 metros.

Exercícios relacionados