Uma pessoa precisa escolher três números inteiros, diferentes entre si, cuja soma seja 200. Seja D a diferença entre o maior e o menor desses números, nessa ordem. O menor valor que D pode ter é
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente encontrar três números inteiros diferentes que somem 200. Além disso, queremos que a diferença entre o maior e o menor desses números seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com somas de números inteiros e como minimizar a diferença entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar os três números de $ a $, $ b $ e $ c $, onde $ a < b < c $. Sabemos que:
E queremos minimizar a diferença $ D $ entre o maior e o menor número:
Passo 3
Para minimizar $ D $, precisamos que os números sejam o mais próximos possível entre si. Isso significa que $ a $, $ b $ e $ c $ devem ser números consecutivos ou quase consecutivos.
Passo 4
Vamos supor que os três números são $ a $, $ a + 1 $ e $ a + 2 $. A soma deles seria:
Queremos que essa soma seja igual a 200:
Passo 5
Resolvendo para $ a $:
Como precisamos de números inteiros, vamos arredondar $ a $ para os inteiros mais próximos, que são 65 e 66.
Passo 6
Primeiro, vamos tentar com $ a = 65 $:
A soma é 198, que está abaixo de 200. Precisamos aumentar a soma em 2. Podemos fazer isso ajustando $ c $:
Passo 7
Agora, vamos verificar a diferença $ D $:
Passo 8
Para garantir que 4 é realmente o menor valor possível para $ D $, vamos tentar outro conjunto de números onde a diferença seja menor que 4.
Vamos tentar $ D = 3 $. Se $ D = 3 $, então $ c = a + 3 $. Assim, os números seriam $ a $, $ b $, $ a + 3 $.
A soma seria:
Para minimizar, tentamos $ b = a + 1 $:
Isso não resulta em números inteiros. Portanto, $ D = 3 $ não funciona.
Passo 9
Assim, a menor diferença possível entre o maior e o menor número é 4.
Resposta
O menor valor que $ D $ pode ter é 4.