Pessoas apressadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante subindo alguns degraus da escada no percurso. Para uma certa escada, observa-se que uma pessoa gasta 30 segundos na escada quando sobe 5 degraus e 20 segundos quando sobe 10 degraus. Quantos são os degraus da escada e qual o tempo gasto no percurso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma escada rolante onde, se uma pessoa está com pressa, ela pode subir alguns degraus manualmente para diminuir o tempo total de subida. A questão nos dá duas situações:
  1. Subindo 5 degraus manualmente, a pessoa leva 30 segundos.
  2. Subindo 10 degraus manualmente, a pessoa leva 20 segundos.
Queremos descobrir quantos degraus a escada rolante tem no total e qual é o tempo que a pessoa levaria se não subisse nenhum degrau manualmente.
Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de matemática básica envolvendo equações. Vamos seguir os próximos passos para chegar à resposta final.

Passo 2

Vamos chamar o número total de degraus da escada rolante de $ N $ e o tempo que a pessoa levaria sem subir nenhum degrau manualmente de $ T $.
Quando a pessoa não sobe nenhum degrau, ela está apenas deixando a escada rolante fazer o trabalho todo, então o tempo que ela leva para subir é $ T $.

Passo 3

Agora, quando a pessoa decide subir alguns degraus manualmente, ela está reduzindo o número de degraus que a escada rolante precisa subir.
  • Primeira situação: Subindo 5 degraus manualmente, faltam $ N - 5 $ degraus para a escada rolante subir. O tempo total nessa situação é de 30 segundos.
  • Segunda situação: Subindo 10 degraus manualmente, faltam $ N - 10 $ degraus para a escada rolante subir. O tempo total nessa situação é de 20 segundos.

Passo 4

Podemos modelar isso com duas equações:
  1. $ N - 5 = Velocidade da escada \times 30 $
  2. $ N - 10 = Velocidade da escada \times 20 $
Vamos chamar a velocidade da escada de $ V $ (em degraus por segundo). Assim, temos:
  1. $ N - 5 = V \times 30 $
  2. $ N - 10 = V \times 20 $

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ N $ e $ V $.
Primeiro, da equação 1:
$ N - 5 = 30V $
$ N = 30V + 5 $ --> Equação A
Da equação 2:
$ N - 10 = 20V $
$ N = 20V + 10 $ --> Equação B

Passo 6

Como ambas as equações igualam $ N $, podemos igualá-las:
$ 30V + 5 = 20V + 10 $
Agora, vamos resolver para $ V $:
$ 30V - 20V = 10 - 5 $
$ 10V = 5 $
$ V = \frac{5}{10} $
$ V = 0,5 $ degraus por segundo

Passo 7

Agora que sabemos que a velocidade da escada $ V = 0,5 $ degraus por segundo, podemos substituir esse valor em uma das equações para encontrar $ N $. Vamos usar a Equação A:
$ N = 30V + 5 $
$ N = 30 \times 0,5 + 5 $
$ N = 15 + 5 $
$ N = 20 $ degraus

Passo 8

Finalmente, queremos saber o tempo que a pessoa levaria para subir toda a escada sem subir nenhum degrau manualmente. Como a velocidade da escada é $ V = 0,5 $ degraus por segundo e há $ N = 20 $ degraus, o tempo $ T $ é:
$ T = \frac{N}{V} $
$ T = \frac{20}{0,5} $
$ T = 40 $ segundos

Resposta

A escada rolante tem 20 degraus no total e o tempo gasto no percurso sem subir nenhum degrau manualmente é de 40 segundos.

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