Quando falamos sobre aplicações de integrais de superfície, podemos pensar como exemplo uma folha de papel alumínio. Se essa folha de alumínio obtiver a forma de uma superfície S e a sua densidade em relação a (x, y, z) for r(x, y, z), então é correto dizer que a massa total da folha será?
a) double integral subscript s rho left parenthesis x comma space y comma space z right parenthesis d S.
b) double integral subscript s rho left parenthesis x comma space y comma space z right parenthesis d S times d A times d W.
c) double integral subscript A rho left parenthesis x comma space y comma space z right parenthesis d S.
d) double integral subscript s rho left parenthesis x comma space y comma space z right parenthesis d S times d A.
e) double integral subscript s rho left parenthesis x comma space y comma space z comma space w right parenthesis d S.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre calcular a massa total de uma folha de papel alumínio que tem a forma de uma superfície $ S $. A folha tem uma densidade que depende das coordenadas $ (x, y, z) $, chamada de $ \rho(x, y, z) $. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais de superfície, que serve para somar quantidades distribuídas ao longo de uma superfície.

Passo 2

Para encontrar a massa total da folha de papel alumínio, precisamos integrar a densidade $ \rho(x, y, z) $ sobre toda a superfície $ S $. Isso significa que a gente vai somar todas as pequenas partes de massa presentes em cada ponto da superfície.

Passo 3

A fórmula para calcular a massa $ M $ de uma superfície é dada pela integral de superfície de $ \rho(x, y, z) $ multiplicada por um elemento de área diferencial $ dS $. Matematicamente, fica assim:
M
Aqui, $ dS $ representa uma pequena área na superfície $ S $.

Resposta

A opção correta é a a)
integral duplaS rho(x, y, z) , dS

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