Petróleo bruto, com densidade relativa SG=0,85 e viscosidade mu=2,15 times 10^-3 lbf cdot s / ft^2, escoa de forma permanente sobre uma superfície inclinada de theta=30 graus para baixo em relação à horizontal, numa película de espessura h=0,125 in. O perfil de velocidade é dado por
u=rho gmu(h y-y^22) sen theta
(A coordenada x está ao longo da superfície e y é normal a ela.) Trace o perfil de velocidade. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre petróleo bruto que escorre de maneira constante sobre uma superfície inclinada. Estamos lidando com conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente com o perfil de velocidade e a tensão de cisalhamento. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula do perfil de velocidade fornecida e como calcular a tensão de cisalhamento a partir dela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o perfil de velocidade dado:
u = rho gmu ( h y - y^22 ) sin theta
Aqui:
  • é a velocidade do fluido em função de .
  • é a densidade do fluido.
  • é a aceleração da gravidade.
  • é a viscosidade do fluido.
  • é a espessura da película.
  • é o ângulo de inclinação da superfície.
Vamos precisar substituir os valores dados no problema para traçar o perfil de velocidade.

Passo 3

Primeiro, vamos converter todas as unidades para um sistema consistente. Aqui, temos viscosidade em h = 0,125 , in = 0,12512 , ft approx 0,0104 , ft e espessura em polegadas. Vamos converter para pés:

Passo 4

Agora, vamos determinar a densidade rho = SG times 62,4 , lbf/ft^3 = 0,85 times 62,4 approx 53,04 , lbf/ft^3 do petróleo. Sabemos que a densidade relativa . A densidade relativa é a razão entre a densidade do petróleo e a densidade da água. A densidade da água é aproximadamente . Então:

Passo 5

Agora, vamos definir uma malha de pontos para variando de 0 até (0 até 0,0104 ft). Por exemplo, podemos calcular para vários valores de dentro desse intervalo para traçar o perfil de velocidade.

Passo 6

Antes de plotar, vamos simplificar a expressão de u = 53,04 times 32,1742,15 times 10^-3 ( 0,0104 , y - y^22 ) sin 30^circ :
sin 30^circ = 0,5
Calculando os coeficientes:
53,04 times 32,1742,15 times 10^-3 approx 1704,560,00215 approx 793,82 times 10^3
u approx 793,82 times 10^3 times ( 0,0104 , y - y^22 ) times 0,5
Então:

Passo 7

Com isso, podemos calcular u = 0 para diferentes valores de u approx 793,82 times 10^3 times (0,0104 times 0,005 - 0,005^22) times 0,5 e plotar o gráfico. Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
Continuando assim, obtemos os pontos para o gráfico.

Passo 8

Agora, vamos determinar a tensão de cisalhamento tau = mu dudy na superfície ( dudy = rho gmu ( h - y ) sin theta ). A tensão de cisalhamento está relacionada ao gradiente de velocidade:
dudy|y=0 = rho gmu h sin theta
Vamos calcular a derivada de tau = mu times rho gmu h sin theta = rho g h sin theta em relação a :
Na superfície, :
Então:

Passo 9

Substituindo os valores:
tau = 53,04 times 32,174 times 0,0104 times sin 30^circ
Calculando:
tau approx 53,04 times 32,174 times 0,0104 times 0,5 approx 8,88 , lbf/ft^2

Resposta

O perfil de velocidade é parabólico, aumentando de zero na superfície até um máximo no centro da película. A magnitude da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície é de aproximadamente , direcionada no sentido oposto ao fluxo.

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