Petróleo bruto, com densidade relativa viscosidade , escoa de forma permanente sobre uma superfície inclinada de graus para baixo em relação à horizontal, numa película de espessura in. O perfil de velocidade é dado por
(A coordenada está ao longo da superfície e é normal a ela.) Trace o perfil de velocidade. Determine a magnitude e o sentido da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre petróleo bruto que escorre de maneira constante sobre uma superfície inclinada. Estamos lidando com conceitos de mecânica dos fluidos, especificamente com o perfil de velocidade e a tensão de cisalhamento. Para resolver, vamos precisar entender a fórmula do perfil de velocidade fornecida e como calcular a tensão de cisalhamento a partir dela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o perfil de velocidade dado:
Aqui:
é a velocidade do fluido em função de .
é a densidade do fluido.
é a aceleração da gravidade.
é a viscosidade do fluido.
é a espessura da película.
é o ângulo de inclinação da superfície.
Vamos precisar substituir os valores dados no problema para traçar o perfil de velocidade.
Passo 3
Primeiro, vamos converter todas as unidades para um sistema consistente. Aqui, temos viscosidade em e espessura em polegadas. Vamos converter para pés:
Passo 4
Agora, vamos determinar a densidade do petróleo. Sabemos que a densidade relativa . A densidade relativa é a razão entre a densidade do petróleo e a densidade da água. A densidade da água é aproximadamente . Então:
Passo 5
Agora, vamos definir uma malha de pontos para variando de 0 até (0 até 0,0104 ft). Por exemplo, podemos calcular para vários valores de dentro desse intervalo para traçar o perfil de velocidade.
Passo 6
Antes de plotar, vamos simplificar a expressão de :
Calculando os coeficientes:
Então:
Passo 7
Com isso, podemos calcular para diferentes valores de e plotar o gráfico. Por exemplo:
Para :
Para :
Continuando assim, obtemos os pontos para o gráfico.
Passo 8
Agora, vamos determinar a tensão de cisalhamento na superfície (). A tensão de cisalhamento está relacionada ao gradiente de velocidade:
Vamos calcular a derivada de em relação a :
Na superfície, :
Então:
Passo 9
Substituindo os valores:
Calculando:
Resposta
O perfil de velocidade é parabólico, aumentando de zero na superfície até um máximo no centro da película. A magnitude da tensão de cisalhamento que atua sobre a superfície é de aproximadamente , direcionada no sentido oposto ao fluxo.