Uma onda sonora harmônica propaga-se em um tubo cilíndrico com velocidade V. Observase que o deslocamento longitudinal da seção do tubo localizada em x=0 é dado por U=A sin (alpha t). Considerando P0 (pressão de repouso do ar), rho0 (densidade de repouso do ar) e gamma (constante adiabática do ar), responda os itens abaixo:
© Escreva a função de onda do deslocamento U(x, t) para as seções transversais do tubo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma onda sonora harmônica que se propaga em um tubo cilíndrico com velocidade . A gente sabe que o deslocamento na posição é dado por . Nosso objetivo aqui é escrever a função de onda completa para qualquer seção transversal do tubo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas que viajam em meios, especialmente ondas harmônicas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como uma onda se propaga em uma direção, nesse caso ao longo do tubo cilíndrico. Em geral, a função de uma onda que se move na direção positiva de U(x, t) = A sin(kx - omega t + phi) pode ser escrita como:
Aqui, é a amplitude da onda, é o número de onda, é a frequência angular, e é a fase inicial. Como não temos nenhuma fase inicial especificada, podemos considerar .

Passo 3

Sabemos que a velocidade de propagação da onda V = omegak está relacionada com essas constantes pela relação:
k = omegaV
Isso significa que podemos expressar o número de onda em termos de e :

Passo 4

No enunciado, o deslocamento na posição U(0, t) = A sin(-omega t) = A sin(omega t) é dado por alpha = omega . Comparando isso com a nossa expressão geral da onda:
Isso nos mostra que é igual à frequência angular :

Passo 5

Agora que sabemos que U(x, t) = A sin(alphaVx - alpha t) e U(x, t) = A sin(alpha (t - xV)) , podemos substituir esses valores na nossa expressão geral da onda:
Isso pode ser simplificado fatorando :

Resposta

A função de onda do deslocamento para as seções transversais do tubo é:
U(x, t) = A sin(alpha (t - xV))

Exercícios relacionados