Um pino cilíndrico de alumínio (β = coeficiente de dilatação superficial = 4,0 . 10^ -5 °C^ -1) tem raio 20,000 mm a 20° C. A que temperatura ele deve ser resfriado para se ajustar exatamente num orifício de raio 19,988 mm?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre dilatação térmica de um pino cilíndrico de alumínio. A gente precisa usar o conceito de dilatação superficial, que é como as áreas de um material mudam com a temperatura. Aqui, o coeficiente de dilatação superficial ( beta) é 4,0 times 10^-5 , °C^-1. A gente tem que descobrir a que temperatura o pino deve ser resfriado para que seu raio passe de 20.000 mm para 19.988 mm.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a dilatação superficial e a mudança de raio. A dilatação superficial está relacionada à mudança na área da superfície do pino, e a área de um círculo é dada por $ A = \pi r^2 $. Quando a temperatura muda, a área muda de acordo com:
A = pi r^2
Onde:
  • $ A_0 $ é a área inicial
  • $ \beta $ é o coeficiente de dilatação superficial
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura

Passo 3

Como queremos relacionar a mudança de área com a mudança de raio, podemos pensar que se a área muda de certa forma, o raio também muda. A variação relativa na área ( De) está relacionada ao coeficiente de dilatação superficial e à variação de temperatura:
De
Mas como a área A = pi r^2, qualquer mudança na área corresponde a uma mudança no raio r. Para pequenas variações, a variação relativa no raio ( De) está relacionada ao coeficiente de dilatação linear ( alpha), que é metade do coeficiente de dilatação superficial:
alpha = beta2
Portanto:
De

Passo 4

Vamos agora organizar as informações que temos:
  • Raio inicial: $ r_0 = 20.000 , mm $
  • Raio final desejado: $ r = 19.988 , mm $
  • Coeficiente de dilatação superficial: $ \beta = 4,0 \times 10^{-5} , °C^{-1} $
A mudança no raio ( r0 = 20.000 , mm ) é:
r = 19.988 , mm

Passo 5

Usando a relação que estabelecemos:
De
Substituindo os valores:
-0,01220.000 = 4,0 times 10^-52 De
Simplificando:
-0,01220.000 = 2,0 times 10^-5 De

Passo 6

Agora, vamos resolver para De:
De

Resposta

O pino deve ser resfriado até -10 °C para se ajustar exatamente no orifício.

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