Um pino cilíndrico de alumínio (β = coeficiente de dilatação superficial = 4,0 . 10^ -5 °C^ -1) tem raio 20,000 mm a 20° C. A que temperatura ele deve ser resfriado para se ajustar exatamente num orifício de raio 19,988 mm?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre dilatação térmica de um pino cilíndrico de alumínio. A gente precisa usar o conceito de dilatação superficial, que é como as áreas de um material mudam com a temperatura. Aqui, o coeficiente de dilatação superficial (
) é
. A gente tem que descobrir a que temperatura o pino deve ser resfriado para que seu raio passe de 20.000 mm para 19.988 mm.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a dilatação superficial e a mudança de raio. A dilatação superficial está relacionada à mudança na área da superfície do pino, e a área de um círculo é dada por $ A = \pi r^2 $. Quando a temperatura muda, a área muda de acordo com:
Onde:
- $ A_0 $ é a área inicial
- $ \beta $ é o coeficiente de dilatação superficial
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura
Passo 3
Como queremos relacionar a mudança de área com a mudança de raio, podemos pensar que se a área muda de certa forma, o raio também muda. A variação relativa na área (
) está relacionada ao coeficiente de dilatação superficial e à variação de temperatura:
Mas como a área
, qualquer mudança na área corresponde a uma mudança no raio
. Para pequenas variações, a variação relativa no raio (
) está relacionada ao coeficiente de dilatação linear (
), que é metade do coeficiente de dilatação superficial:
Portanto:
Passo 4
Vamos agora organizar as informações que temos:
- Raio inicial: $ r_0 = 20.000 , mm $
- Raio final desejado: $ r = 19.988 , mm $
- Coeficiente de dilatação superficial: $ \beta = 4,0 \times 10^{-5} , °C^{-1} $
A mudança no raio (
) é:
Passo 5
Usando a relação que estabelecemos:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
O pino deve ser resfriado até -10 °C para se ajustar exatamente no orifício.