O tubo de aço A-36 (E=200 GPa) tem diâmetro externo de 50 mm. Supondo que seja mantido em posição por um tirante, determinar o diâmetro interno que precisa ter, a fim de suportar uma carga horizontal máxima P=4 kN sem sofrer flambagem. Supor que suas extremidades estejam acopladas por pino.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um tubo de aço A-36 com diâmetro externo de 50 mm e módulo de elasticidade E igual a 200 GPa. A missão é descobrir qual deve ser o diâmetro interno desse tubo para que ele suporte uma carga horizontal máxima de 4 kN sem sofrer flambagem. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a teoria da flambagem de Euler para colunas, que nos ajuda a determinar a carga crítica que uma coluna pode suportar antes de começar a deformar de forma instável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da carga crítica de Euler para flambagem de uma coluna com extremidades acopladas (pinned-pinned):
Pcr = pi^2 E IL^2
Aqui, $ P_{cr} $ é a carga crítica, $ E $ é o módulo de elasticidade do material, $ I $ é o momento de inércia da seção transversal, e $ L $ é o comprimento da coluna.

Passo 3

Como a carga que queremos suportar é $ P = 4 $ kN, vamos igualar essa carga à carga crítica para garantir que o tubo não flambeará:
P = 4

Passo 4

Agora, precisamos calcular o momento de inércia $ I $ para a seção transversal do tubo. Para um tubo circular oco, a fórmula é:
I
Onde $ D $ é o diâmetro externo e $ d $ é o diâmetro interno que queremos encontrar.

Passo 5

Substituindo $ I $ na equação da carga crítica, temos:
I

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
4 times 10^3 = pi^3 times 200 times 10^9 times (50^4 - d^4)64 times L^2
Isolando $ (50^4 - d^4) $:
(50^4 - d^4)

Passo 7

Resolvendo para $ d^4 $:
d^4

Passo 8

Finalmente, tiramos a raiz quarta para encontrar $ d $:
d

Resposta

O diâmetro interno necessário para o tubo suportar uma carga horizontal máxima de 4 kN sem flambagem é dado por:
d = raiz[4]50^4 - 4 times 10^3 times 64 times L^2pi^3 times 200 times 10^9
Para obter um valor numérico específico para $ d $, é necessário conhecer o comprimento $ L $ do tubo.

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