Uma placa de concreto espessa (alpha=7 times 10^-7 m^2 / s) está inicialmente numa temperatura uniforme Ti=60^circ C. Uma de suas faces é repentinamente resfriada até 10^circ C. Admita este problema como um problema de conduçāo de calor transiente, unidimensional. Determine as temperaturas e profundidades de 5 cm e de 10 cm , a partir da face, 30 minutos depois de a face ter sido resfriada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre condução de calor transiente em uma placa de concreto bem grossa. A temperatura inicial da placa é uniforme, e uma das faces é resfriada de repente. Nosso objetivo é descobrir quais serão as temperaturas em profundidades de 5 cm e 10 cm após 30 minutos do resfriamento. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de condução de calor, especialmente a solução para condução unidimensional e transiente em sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa condução de calor transiente. “Transiente” quer dizer que a temperatura está mudando ao longo do tempo, diferente da condição estacionária onde as temperaturas não variam mais. A equação que descreve isso na condução unidimensional é a equação de calor:
partial Tpartial t = alpha partial^2 Tpartial x^2
Aqui, é a temperatura, é o tempo, é a profundidade na placa, e é a difusividade térmica.

Passo 3

Como a placa é bem espessa e uma das faces é resfriada repentinamente, podemos considerar que é um problema de meio semi-infinito. Isso significa que a profundidade da placa é tão grande que a outra face praticamente não influencia a condução de calor no tempo considerado.
A solução para a temperatura T(x, t) = Tinfty + (Ti - Tinfty) cdot erfc( x2 raizalpha t ) em um meio semi-infinito após um resfriamento brusco na superfície é dada por:
Onde:
  • é a temperatura da superfície após o resfriamento,
  • é a temperatura inicial da placa,
  • é a função erro complementar,
  • é a profundidade,
  • é o tempo,
  • é a difusividade térmica.

Passo 4

Vamos substituir os valores fornecidos no enunciado na fórmula:
  • T(x, 1800) = 10 + (60 - 10) cdot erfc( x2 raiz7 times 10^-7 times 1800 )
  • minutos = segundos
  • m (5 cm) e m (10 cm)
Então, para cada profundidade, teremos:

Passo 5

Vamos calcular o argumento da função x2 raizalpha t = x2 raiz7 times 10^-7 times 1800 primeiro. A expressão dentro do 2 raiz7 times 10^-7 times 1800 = 2 raiz1.26 times 10^-3 approx 2 times 0.0355 approx 0.071 é:
x0.071
Calculando o denominador:
0.050.071 approx 0.704
Então, o argumento fica:
0.100.071 approx 1.408
Para m:
Para m:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de erfc(0.704) approx 0.48 e erfc(1.408) approx 0.079 . Essas funções são tabuladas ou podem ser calculadas usando uma calculadora científica.
Usando valores aproximados:

Passo 7

Substituindo de volta na equação da temperatura:
Para T(0.05, 1800) = 10 + (60 - 10) times 0.48 = 10 + 50 times 0.48 = 10 + 24 = 34^circ C m:
T(0.10, 1800) = 10 + (60 - 10) times 0.079 = 10 + 50 times 0.079 = 10 + 3.95 = 13.95^circ C
Para m:

Resposta

Após 30 minutos do resfriamento, as temperaturas na placa de concreto são aproximadamente a uma profundidade de 5 cm e a uma profundidade de 10 cm a partir da face resfriada.

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