Uma placa dielétrica preenche completamente o espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas. A magnitude da carga ligada em cada lado da placa dielétrica é
da magnitude da carga livre em cada placa. A capacitância é
, onde
é uma constante com dimensões de comprimento, e a carga máxima que pode ser armazenada no capacitor é
, onde
é o limite de ruptura.
a) Qual é a constante dielétrica da placa?
a) Qual é a constante dielétrica da placa?
Passo 1
Beleza, então a gente tem um capacitor de placas paralelas com uma placa dielétrica preenchendo todo o espaço entre elas. A carga ligada em cada lado da placa dielétrica é 75% da carga livre em cada placa do capacitor. A capacitância do capacitor é dada por $ C = \frac{480 , P_0}{l} $, onde $ l $ é uma constante com dimensões de comprimento. Além disso, a carga máxima que o capacitor pode armazenar é $ Q_{max} = \frac{240}{2 P_0 E_{max}} $, onde $ E_{max} $ é o limite de ruptura. A gente precisa descobrir a constante dielétrica da placa, que é uma medida de quão eficaz o material do dielétrico é em aumentar a capacitância do capacitor.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor com dielétrico é dada por:
onde:
- $ \varepsilon_r $ é a constante dielétrica,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ A $ é a área das placas,
- $ d $ é a distância entre as placas.
No nosso caso, a capacitância é dada como $ C = \frac{480 , P_0}{l} $. Aqui, $ P_0 $ corresponde à permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $, e $ l $ tem dimensões de comprimento, então podemos relacionar $ d $ com $ l $.
Passo 3
Sabemos que a carga máxima $ Q_{max} $ em um capacitor é relacionada à capacitância e à tensão máxima $ V_{max} $ que o capacitor pode suportar sem quebrar o dielétrico:
Também sabemos que a tensão máxima está relacionada ao campo elétrico máximo $ E_{max} $ e à distância $ d $:
Substituindo na equação de $ Q_{max} $:
Dado que $ Q_{max} = \frac{240}{2 P_0 E_{max}} $, podemos igualar as duas expressões para $ Q_{max} $:
Passo 4
Vamos substituir $ C $ pela expressão dada:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo para $ d $:
Passo 6
Agora, voltamos à expressão da capacitância com dielétrico:
Como $ C = \frac{480 P_0}{l} $, substituindo $ d $:
Passo 7
Simplificando a equação:
Passo 8
Isolando $ \varepsilon_r $:
Resposta
A constante dielétrica da placa é $ \varepsilon_r = \frac{120}{\varepsilon_0 P_0 E_{max}^2 A} $.