Uma placa dielétrica preenche completamente o espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas. A magnitude da carga ligada em cada lado da placa dielétrica é 75 % da magnitude da carga livre em cada placa. A capacitância é 480 P0 / l, onde l é uma constante com dimensões de comprimento, e a carga máxima que pode ser armazenada no capacitor é 2402 P0 Emax , onde E max é o limite de ruptura.
a) Qual é a constante dielétrica da placa?

Passo 1

Beleza, então a gente tem um capacitor de placas paralelas com uma placa dielétrica preenchendo todo o espaço entre elas. A carga ligada em cada lado da placa dielétrica é 75% da carga livre em cada placa do capacitor. A capacitância do capacitor é dada por $ C = \frac{480 , P_0}{l} $, onde $ l $ é uma constante com dimensões de comprimento. Além disso, a carga máxima que o capacitor pode armazenar é $ Q_{max} = \frac{240}{2 P_0 E_{max}} $, onde $ E_{max} $ é o limite de ruptura. A gente precisa descobrir a constante dielétrica da placa, que é uma medida de quão eficaz o material do dielétrico é em aumentar a capacitância do capacitor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a capacitância de um capacitor com dielétrico é dada por:
C = varepsilonr varepsilon0 Ad
onde:
- $ \varepsilon_r $ é a constante dielétrica,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ A $ é a área das placas,
- $ d $ é a distância entre as placas.
No nosso caso, a capacitância é dada como $ C = \frac{480 , P_0}{l} $. Aqui, $ P_0 $ corresponde à permissividade do vácuo $ \varepsilon_0 $, e $ l $ tem dimensões de comprimento, então podemos relacionar $ d $ com $ l $.

Passo 3

Sabemos que a carga máxima $ Q_{max} $ em um capacitor é relacionada à capacitância e à tensão máxima $ V_{max} $ que o capacitor pode suportar sem quebrar o dielétrico:
Qmax
Também sabemos que a tensão máxima está relacionada ao campo elétrico máximo $ E_{max} $ e à distância $ d $:
Vmax
Substituindo na equação de $ Q_{max} $:
Qmax = C Vmax
Dado que $ Q_{max} = \frac{240}{2 P_0 E_{max}} $, podemos igualar as duas expressões para $ Q_{max} $:
Emax

Passo 4

Vamos substituir $ C $ pela expressão dada:
C
Simplificando:
2402 P0 Emax = ( 480 P0l ) Emax d
2402 P0 Emax = 480 P0 Emax dl

Passo 5

Resolvendo para $ d $:
d
d = 120 l480 P0^2 Emax^2

Passo 6

Agora, voltamos à expressão da capacitância com dielétrico:
C = varepsilonr varepsilon0 Ad
Como $ C = \frac{480 P_0}{l} $, substituindo $ d $:
C = 480 P0l

Passo 7

Simplificando a equação:
480 P0 = varepsilonr varepsilon0 4 P0^2 Emax^2 A
480 = varepsilonr varepsilon0 4 P0 Emax^2 A

Passo 8

Isolando $ \varepsilon_r $:
varepsilonr
varepsilonr = 4804 varepsilon0 P0 Emax^2 A

Resposta

A constante dielétrica da placa é $ \varepsilon_r = \frac{120}{\varepsilon_0 P_0 E_{max}^2 A} $.

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