Uma placa dielétrica preenche completamente o espaço entre as placas de um capacitor de placas paralelas. A magnitude da carga ligada em cada lado da placa dielétrica é
da magnitude da carga livre em cada placa. A capacitância é
, onde
é uma constante com dimensões de comprimento, e a carga máxima que pode ser armazenada no capacitor é
, onde
é o limite de ruptura.
c) Qual a área das placas do capacitor em termos de l?
c) Qual a área das placas do capacitor em termos de l?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um capacitor de placas paralelas totalmente preenchido por uma placa dielétrica. A carga ligada em cada lado da dielétrica é 75% da carga livre em cada placa. A capacitância é dada por $ C = \frac{480 , \varepsilon_0}{l} $, e a carga máxima que o capacitor pode armazenar é $ \frac{240}{2 \varepsilon_0 E_{max}} $. Nosso objetivo aqui é encontrar a área das placas do capacitor em termos de $ l $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a capacitância de um capacitor de placas paralelas com um dielétrico é calculada. A fórmula geral é:
onde:
- $ C $ é a capacitância,
- $ \kappa $ é a constante dielétrica do material,
- $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
- $ A $ é a área das placas,
- $ d $ é a distância entre as placas.
Nesse caso, parece que $ l $ está relacionado à distância entre as placas ou a alguma outra dimensão do sistema. Precisamos identificar isso para prosseguir.
Passo 3
Sabemos também que a carga máxima que o capacitor pode armazenar está relacionada ao campo elétrico máximo que o dielétrico pode suportar antes de ocorrer ruptura. A relação dada é:
Vamos simplificar isso:
Passo 4
Agora, sabemos que $ Q = C V $, onde $ V $ é a voltagem. Também, para determinar $ V $ em termos do campo elétrico, usamos $ V = E \cdot d $, onde $ d $ é a distância entre as placas. Mas precisamos relacionar isso com a informação que a carga ligada na dielétrica é 75% da carga livre.
Passo 5
A presença do dielétrico reduz o campo elétrico no capacitor. A relação entre as cargas é dada por $ Q_{dielétrica} = 0,75 , Q_{livre} $.
Isso indica que a constante dielétrica $ \kappa $ está relacionada com esse fator. A constante dielétrica pode ser encontrada pela razão entre a carga livre e a carga com dielétrico:
Passo 6
Agora, vamos usar a fórmula da capacitância com dielétrico:
Sabemos que $ C = \frac{480 , \varepsilon_0}{l} $, então:
Podemos simplificar $ \varepsilon_0 $ dos dois lados:
Passo 7
Precisamos relacionar $ d $ e $ l $. Geralmente, $ l $ é uma dimensão linear relacionada ao sistema, possivelmente a distância $ d $. Vamos assumir que $ d = l $:
Multiplicando ambos os lados por $ l $:
Passo 8
Agora, resolvemos para $ A $:
Resposta
A área das placas do capacitor em termos de $ l $ é $ A = 360 , unidades de área $.