Uma placa homogênea A B C D está submetida a um carregamento biaxial que provoca as tensões normais sigmax=150 MPa e sigmaz=100 MPa. Sendo a placa de aço ( E=200 GPa e v=0,30 ), determine a variação de comprimento: a) da aresta A B, b) da aresta BC, c ) da diagonal AC .
Resposta: a) 60 mu m, b) 20,6 mu m, c) 60,4 mu m

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma placa de aço homogênea que está sofrendo um carregamento biaxial, ou seja, está sendo esticada em duas direções diferentes. As tensões normais aplicadas são na direção e na direção . Sabemos que o aço tem módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson . Nosso objetivo aqui é descobrir como essas tensões vão causar variações no comprimento das arestas , e na diagonal da placa.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como as tensões aplicadas causam deformações na placa. Para isso, vamos usar a Lei de Hooke para materiais em estado de tensão bidimensional (biaxial). A deformação linear ( epsiloni = sigmaiE - nu sigmajE ) em cada direção pode ser calculada considerando as tensões e as propriedades do material.
A relação geral para deformação em uma direção é:
onde:
  • é a deformação na direção ,
  • é a tensão na direção ,
  • é o módulo de elasticidade,
  • é o coeficiente de Poisson,
  • é a direção perpendicular a .

Passo 3

Vamos calcular a deformação nas direções epsilonx = sigmaxE - nu sigmazE e epsilonx = 150 times 10^6200 times 10^9 - 0,30 times 100 times 10^6200 times 10^9 .
Para a direção epsilonx = 0,00075 - 0,30 times 0,0005 = 0,00075 - 0,00015 = 0,0006 :
epsilonz = sigmazE - nu sigmaxE
Substituindo os valores:
epsilonz = 100 times 10^6200 times 10^9 - 0,30 times 150 times 10^6200 times 10^9
epsilonz = 0,0005 - 0,30 times 0,00075 = 0,0005 - 0,000225 = 0,000275
Para a direção :
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora que temos as deformações nas direções De e De, podemos calcular a variação de comprimento das arestas De e . A variação de comprimento ( ) é dada por:
Assumindo que as arestas iniciais têm comprimento , para facilitar, podemos considerar , já que estamos interessados apenas na variação relativa.
Para a aresta (direção ):
Para a aresta (direção ):

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação de comprimento da diagonal epsilonAC = epsilonx + epsilonz = 0,0006 + 0,000275 = 0,000875 . Para isso, precisamos considerar que a diagonal passa pelos eixos De e simultaneamente. A deformação na diagonal será a combinação das deformações nas direções e .
A deformação na diagonal ( ) pode ser calculada usando a fórmula:
Então, a variação de comprimento da diagonal é:

Resposta

a) A variação de comprimento da aresta é .
b) A variação de comprimento da aresta é .
c) A variação de comprimento da diagonal é .

Exercícios relacionados