Uma barra de metal ( E=200 GPa ) tem um diâmetro original de 13 mm e comprimento de 50 mm . Quando uma força de tração de 50 kN foi aplicada o diâmetro da barra foi medido como 12,99265 mm. Qual o coeficiente de Poisson do material?
Resposta: v=0,30018

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma barra de metal com módulo de elasticidade E = 200,GPa, diâmetro original de 13 mm e comprimento de 50 mm. Quando aplicamos uma força de tração de 50 kN, o diâmetro da barra muda para 12,99265 mm. Nosso objetivo aqui é encontrar o coeficiente de Poisson desse material. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensão, deformação e como elas se relacionam através do coeficiente de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão de tração ( sigma) aplicada na barra. A tensão é basicamente a força dividida pela área da seção transversal da barra. A força que estamos aplicando é de 50 kN, que é igual a 50.000 N.
A área da seção transversal original ( A0) de uma barra circular pode ser calculada usando a fórmula da área do círculo:
A0 = pi d0^24
onde d0 é o diâmetro original.

Passo 3

Vamos calcular a área original da seção transversal:
A0 = pi times (13,mm)^24 = 3,1416 times 169,mm^24 approx 531,9184 approx 132,98,mm^2

Passo 4

Agora, com a área calculada, podemos determinar a tensão aplicada:
sigma = FA0 = 50.000,N132,98,mm^2 approx 376,38,MPa
Aqui, lembrando que 1,GPa = 1000,MPa.

Passo 5

O próximo passo é encontrar as deformações longitudinal ( varepsilonL) e lateral ( varepsilonD). O coeficiente de Poisson ( v) relaciona essas duas deformações pela fórmula:
v = -varepsilonDvarepsilonL
Primeiro, precisamos calcular a deformação longitudinal. Sabemos que a tensão está relacionada ao módulo de elasticidade pela equação:
sigma = E cdot varepsilonL Rightarrow varepsilonL = sigmaE

Passo 6

Vamos calcular a deformação longitudinal:
varepsilonL = 376,38,MPa200.000,MPa = 0,0018819

Passo 7

Agora, vamos calcular a deformação lateral, que é a mudança no diâmetro dividida pelo diâmetro original:
varepsilonD = d - d0d0 = 12,99265,mm - 13,mm13,mm = -0,00735,mm13,mm approx -0,000565

Passo 8

Finalmente, aplicamos esses valores na fórmula do coeficiente de Poisson:
v = --0,0005650,0018819 approx 0,30018

Resposta

O coeficiente de Poisson do material é v approx 0,30018.

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