Em um plano cartesiano encontrou-se um triângulo retângulo com a hipotenusa representada pelo segmento AB. O vértice A é definido pelas coordenadas (1,-2). Enquanto o seguimento AC possui comprimento 6 unidades e o segmento BC mede 5 unidades. A alternativa que corretamente representa as coordenadas dos vértices B e C é
A) B(7,2) e C(7,-2)
B) B(7,2) e C(6,-2)
C) B(7,-3) e C(7,-2)
D) B(7,3) e C(6,-2)
E) B(7,3) e C(7,-2).
A) B(7,2) e C(7,-2)
B) B(7,2) e C(6,-2)
C) B(7,-3) e C(7,-2)
D) B(7,3) e C(6,-2)
E) B(7,3) e C(7,-2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A gente tem um triângulo retângulo num plano cartesiano, onde a hipotenusa é o segmento AB. O ponto A está nas coordenadas (1, -2). Sabemos também que o segmento AC mede 6 unidades e o segmento BC mede 5 unidades. Nosso objetivo é descobrir as coordenadas dos pontos B e C entre as alternativas fornecidas. Para isso, vamos precisar entender como calcular distâncias entre pontos no plano e usar o teorema de Pitágoras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano. Se temos dois pontos, $ P(x_1, y_1) $ e $ Q(x_2, y_2) $, a distância entre eles é dada pela fórmula:
Vamos usar essa fórmula para encontrar as coordenadas dos pontos B e C.
Passo 3
Sabemos que A está em (1, -2) e queremos encontrar B e C de forma que AC = 6 e BC = 5. Como AB é a hipotenusa, o triângulo é retângulo em C ou em B. Vamos supor que o ângulo reto esteja em C. Assim, AC e BC seriam os catetos.
Passo 4
Vamos supor que o ponto C tenha coordenadas
, ou seja, ele está alinhado horizontalmente com A. Isso simplifica o cálculo porque a variação fica apenas na coordenada x. Sabendo que AC = 6, usamos a fórmula da distância:
Simplificando:
Então, $ x - 1 = 6 $ ou $ x - 1 = -6 $, o que dá $ x = 7 $ ou $ x = -5 $. Mas olhando as opções, vemos que x = 7 é a única viável.
Passo 5
Agora que sabemos que C está em (7, -2), vamos encontrar B. Sabendo que BC = 5, e C é (7, -2), queremos que a distância entre B e C seja 5. Isso significa que B está a 5 unidades de C. Como A é (1, -2) e B está na hipotenusa, vamos supor que B tenha a mesma coordenada y que não seja -2 para formar o triângulo retângulo.
Passo 6
Considerando que B está a 5 unidades de C (7, -2), e que deve estar na vertical em relação a C para formar o triângulo retângulo, a coordenada x de B será 7. A coordenada y pode ser 3 ou -2 + 5 = 3 ou -7, mas olhando as opções, a única que faz sentido é (7, 3).
Resposta
A alternativa correta é a E) B(7,3) e C(7,-2).