Após um longo processo de seleção para preenchimento de duas vagas de emprego para engenheiro, uma empresa chegou a um conjunto de 9 engenheiros e 6 engenheiras, todos com capacitação bastante semelhante. Indeciso, o setor de recursos humanos decidiu realizar um sorteio para preencher as duas vagas oferecidas.
a) construa o modelo probabilístico, considerando que se esteja observando o sexo (masculino ou feminino) dos sorteados;
b) qual é a probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo?
c) sabendo-se que ambos os selecionados
são do mesmo sexo, qual é a probabilidade de serem homens?
a) construa o modelo probabilístico, considerando que se esteja observando o sexo (masculino ou feminino) dos sorteados;
b) qual é a probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo?
c) sabendo-se que ambos os selecionados
são do mesmo sexo, qual é a probabilidade de serem homens?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma empresa que quer preencher duas vagas para engenheiro e decidiu sortear entre 9 engenheiros homens e 6 engenheiras mulheres, totalizando 15 pessoas com capacitação igual. A matéria aqui é probabilidade combinatória, e vamos precisar entender como calcular combinações e probabilidades condicionais pra resolver os itens.
Passo 2
Primeiro, vamos construir o modelo probabilístico considerando o sexo dos sorteados. Isso significa que cada possível seleção de duas pessoas pode resultar em:
- Dois homens.
- Duas mulheres.
- Um homem e uma mulher.
Vamos representar isso usando combinações. A combinação é uma forma de contar de quantas maneiras podemos selecionar um grupo sem se importar com a ordem.
Passo 3
Vamos calcular o total de maneiras de selecionar 2 pessoas dentre 15. Usamos a fórmula da combinação:
Onde $ n = 15 $ e $ k = 2 $:
Então, há 105 maneiras possíveis de selecionar 2 pessoas.
Passo 4
Agora, vamos calcular as maneiras de selecionar dois homens. Temos 9 homens, então:
Temos 36 combinações onde os dois sorteados são homens.
Passo 5
Em seguida, vamos ver as maneiras de selecionar duas mulheres. São 6 mulheres:
Então, há 15 combinações onde os dois sorteados são mulheres.
Passo 6
Por fim, vamos calcular as maneiras de selecionar um homem e uma mulher. Isso é feito multiplicando o número de homens pelo número de mulheres:
Assim, há 54 combinações onde um sorteado é homem e o outro é mulher.
Passo 7
Agora, juntando tudo, nosso modelo probabilístico tem:
- Total de possibilidades: 105
- Dois homens: 36
- Duas mulheres: 15
- Um de cada: 54
Isso nos dá todas as possíveis situações considerando o sexo dos sorteados.
Passo 8
Resposta da letra a): O modelo probabilístico considera as seguintes possibilidades ao sortear duas pessoas:
- Dois homens, com 36 combinações.
- Duas mulheres, com 15 combinações.
- Um homem e uma mulher, com 54 combinações.
Totalizando 105 maneiras possíveis.
Passo 9
Agora, vamos para a letra b): qual é a probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo?
Isso inclui duas situações: ambos homens ou ambas mulheres. Já calculamos as combinações para essas situações:
- Dois homens: 36
- Duas mulheres: 15
Somando essas, temos 36 + 15 = 51 combinações onde os dois são do mesmo sexo.
Passo 10
A probabilidade é a razão entre as combinações favoráveis e o total de combinações:
Passo 11
Resposta da letra b): A probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo é
, ou aproximadamente 48,57%.
Passo 12
Agora, para a letra c): sabendo que ambos os selecionados são do mesmo sexo, qual é a probabilidade de serem homens?
Aqui, usamos a probabilidade condicional. Queremos saber, dentre as situações onde os dois são do mesmo sexo (51 possibilidades), quantas dessas são dois homens (36).
A fórmula da probabilidade condicional é:
No nosso caso:
- $ A $ é “são dois homens”.
- $ B $ é “são do mesmo sexo”.
Então:
Passo 13
Resposta da letra c): A probabilidade de que, dado que ambos são do mesmo sexo, eles sejam homens é
, ou aproximadamente 70,59%.
Resposta
Conforme exposto nos passos anteriores:
a) O modelo probabilístico considera 105 maneiras possíveis, divididas em 36 combinações de dois homens, 15 de duas mulheres e 54 de um homem com uma mulher.
b) A probabilidade de ambos os selecionados serem do mesmo sexo é
ou aproximadamente 48,57%.
c) Sabendo que ambos são do mesmo sexo, a probabilidade de serem homens é
ou aproximadamente 70,59%.