Após um longo processo de seleção para preenchimento de duas vagas de emprego para engenheiro, uma empresa chegou a um conjunto de 9 engenheiros e 6 engenheiras, todos com capacitação bastante semelhante. Indeciso, o setor de recursos humanos decidiu realizar um sorteio para preencher as duas vagas oferecidas.
a) construa o modelo probabilístico, considerando que se esteja observando o sexo (masculino ou feminino) dos sorteados;
b) qual é a probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo?
c) sabendo-se que ambos os selecionados
são do mesmo sexo, qual é a probabilidade de serem homens?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos uma empresa que quer preencher duas vagas para engenheiro e decidiu sortear entre 9 engenheiros homens e 6 engenheiras mulheres, totalizando 15 pessoas com capacitação igual. A matéria aqui é probabilidade combinatória, e vamos precisar entender como calcular combinações e probabilidades condicionais pra resolver os itens.

Passo 2

Primeiro, vamos construir o modelo probabilístico considerando o sexo dos sorteados. Isso significa que cada possível seleção de duas pessoas pode resultar em:
  1. Dois homens.
  2. Duas mulheres.
  3. Um homem e uma mulher.
Vamos representar isso usando combinações. A combinação é uma forma de contar de quantas maneiras podemos selecionar um grupo sem se importar com a ordem.

Passo 3

Vamos calcular o total de maneiras de selecionar 2 pessoas dentre 15. Usamos a fórmula da combinação:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde $ n = 15 $ e $ k = 2 $:
n = 15
Então, há 105 maneiras possíveis de selecionar 2 pessoas.

Passo 4

Agora, vamos calcular as maneiras de selecionar dois homens. Temos 9 homens, então:
C(9, 2) = 9!2!(9 - 2)! = 9 times 82 times 1 = 36
Temos 36 combinações onde os dois sorteados são homens.

Passo 5

Em seguida, vamos ver as maneiras de selecionar duas mulheres. São 6 mulheres:
C(6, 2) = 6!2!(6 - 2)! = 6 times 52 times 1 = 15
Então, há 15 combinações onde os dois sorteados são mulheres.

Passo 6

Por fim, vamos calcular as maneiras de selecionar um homem e uma mulher. Isso é feito multiplicando o número de homens pelo número de mulheres:
9 times 6 = 54
Assim, há 54 combinações onde um sorteado é homem e o outro é mulher.

Passo 7

Agora, juntando tudo, nosso modelo probabilístico tem:
  • Total de possibilidades: 105
  • Dois homens: 36
  • Duas mulheres: 15
  • Um de cada: 54
Isso nos dá todas as possíveis situações considerando o sexo dos sorteados.

Passo 8

Resposta da letra a): O modelo probabilístico considera as seguintes possibilidades ao sortear duas pessoas:
  • Dois homens, com 36 combinações.
  • Duas mulheres, com 15 combinações.
  • Um homem e uma mulher, com 54 combinações.
Totalizando 105 maneiras possíveis.

Passo 9

Agora, vamos para a letra b): qual é a probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo?
Isso inclui duas situações: ambos homens ou ambas mulheres. Já calculamos as combinações para essas situações:
  • Dois homens: 36
  • Duas mulheres: 15
Somando essas, temos 36 + 15 = 51 combinações onde os dois são do mesmo sexo.

Passo 10

A probabilidade é a razão entre as combinações favoráveis e o total de combinações:
P(mesmo sexo) = 51105 = 1735 approx 0,4857 ou 48,57%

Passo 11

Resposta da letra b): A probabilidade de que ambos os selecionados sejam do mesmo sexo é 1735, ou aproximadamente 48,57%.

Passo 12

Agora, para a letra c): sabendo que ambos os selecionados são do mesmo sexo, qual é a probabilidade de serem homens?
Aqui, usamos a probabilidade condicional. Queremos saber, dentre as situações onde os dois são do mesmo sexo (51 possibilidades), quantas dessas são dois homens (36).
A fórmula da probabilidade condicional é:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso:
  • $ A $ é “são dois homens”.
  • $ B $ é “são do mesmo sexo”.
Então:
A

Passo 13

Resposta da letra c): A probabilidade de que, dado que ambos são do mesmo sexo, eles sejam homens é 1217, ou aproximadamente 70,59%.

Resposta

Conforme exposto nos passos anteriores:
a) O modelo probabilístico considera 105 maneiras possíveis, divididas em 36 combinações de dois homens, 15 de duas mulheres e 54 de um homem com uma mulher.
b) A probabilidade de ambos os selecionados serem do mesmo sexo é 1735 ou aproximadamente 48,57%.
c) Sabendo que ambos são do mesmo sexo, a probabilidade de serem homens é 1217 ou aproximadamente 70,59%.

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