Plote o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer plotar o gráfico da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis na matemática, especificamente na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no espaço tridimensional e como representar essa superfície graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função de duas variáveis. Aqui,
nos dá um valor de
para cada par de valores
e
. Então, nosso gráfico vai ser uma superfície no espaço 3D onde cada ponto
satisfaz a equação
.
Passo 3
Agora, vamos identificar o tipo de superfície que essa função representa. A equação
é uma forma de um paraboloide elíptico. Isso significa que o gráfico tem a forma de uma tigela que se abre para cima.
Passo 4
Para visualizar melhor, vamos analisar algumas seções específicas:
- Interseção com o plano z=0: Quando
, temos . A única solução é e , ou seja, o ponto (0,0,0). - Interseção com o plano y=0: Quando
, a equação vira , que é uma parábola aberta para cima no eixo z. - Interseção com o plano x=0: Quando
, a equação vira , que também é uma parábola aberta para cima, mas com uma taxa de abertura diferente devido ao coeficiente 2.
Passo 5
Vamos também observar como a superfície se curva. O coeficiente de
sendo 2 faz com que a direção y se curve mais rapidamente que a direção x. Isso faz com que o paraboloide seja mais “estreito” ao longo do eixo y e mais “largo” ao longo do eixo x.
Passo 6
Para plotar o gráfico, imagine uma tigela aberta para cima com o ponto mais baixo na origem (0,0,0). Conforme você se afasta do centro, a altura
aumenta seguindo as curvas das parábolas que discutimos. A superfície se estende infinitamente em todas as direções positivas de x e y.
Passo 7
Se você estiver usando uma ferramenta gráfica ou software de plotagem, insira a função
e observe a forma do paraboloide elíptico que se forma. Você poderá rotacionar e ampliar a imagem para ver melhor as curvas e como elas se comportam em diferentes direções.
Resposta
O gráfico da função
é um paraboloide elíptico aberto para cima, com a origem (0,0,0) sendo o ponto mais baixo. A superfície se curva mais rapidamente na direção y devido ao coeficiente 2, resultando em um formato mais estreito ao longo do eixo y e mais largo ao longo do eixo x.
Exercícios relacionados
Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
© .
©
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
Se , então
.
Se
Usando argumentos geométricos, determine a equação reta tangente à parábola
no ponto
.
Plote o gráfico das seguintes funções: