Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=x^2+2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer plotar o gráfico da função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis na matemática, especificamente na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam no espaço tridimensional e como representar essa superfície graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função de duas variáveis. Aqui, nos dá um valor de para cada par de valores e . Então, nosso gráfico vai ser uma superfície no espaço 3D onde cada ponto satisfaz a equação .

Passo 3

Agora, vamos identificar o tipo de superfície que essa função representa. A equação é uma forma de um paraboloide elíptico. Isso significa que o gráfico tem a forma de uma tigela que se abre para cima.

Passo 4

Para visualizar melhor, vamos analisar algumas seções específicas:
  • Interseção com o plano z=0: Quando , temos . A única solução é e , ou seja, o ponto (0,0,0).
  • Interseção com o plano y=0: Quando , a equação vira , que é uma parábola aberta para cima no eixo z.
  • Interseção com o plano x=0: Quando , a equação vira , que também é uma parábola aberta para cima, mas com uma taxa de abertura diferente devido ao coeficiente 2.

Passo 5

Vamos também observar como a superfície se curva. O coeficiente de sendo 2 faz com que a direção y se curve mais rapidamente que a direção x. Isso faz com que o paraboloide seja mais “estreito” ao longo do eixo y e mais “largo” ao longo do eixo x.

Passo 6

Para plotar o gráfico, imagine uma tigela aberta para cima com o ponto mais baixo na origem (0,0,0). Conforme você se afasta do centro, a altura aumenta seguindo as curvas das parábolas que discutimos. A superfície se estende infinitamente em todas as direções positivas de x e y.

Passo 7

Se você estiver usando uma ferramenta gráfica ou software de plotagem, insira a função e observe a forma do paraboloide elíptico que se forma. Você poderá rotacionar e ampliar a imagem para ver melhor as curvas e como elas se comportam em diferentes direções.

Resposta

O gráfico da função é um paraboloide elíptico aberto para cima, com a origem (0,0,0) sendo o ponto mais baixo. A superfície se curva mais rapidamente na direção y devido ao coeficiente 2, resultando em um formato mais estreito ao longo do eixo y e mais largo ao longo do eixo x.

Exercícios relacionados

Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
© C: x^2+4 y^2-2 x+8 y+9=0.
Decida se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa.
Se u=v, então |u|=|v|.
Usando argumentos geométricos, determine a equação reta tangente à parábola P: y^2-4 y+6 x-8=0 no ponto T(-4,4).
Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=1-x-7 y