Usando argumentos geométricos, determine a equação reta tangente à parábola
no ponto
.
Passo 1
Então, temos o desafio de encontrar a equação da reta tangente à parábola
no ponto
. Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica, que envolve entender a forma da parábola e como uma reta pode tocar a curva em apenas um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola para identificar sua forma padrão. Começamos agrupando os termos em
:
Passo 3
Agora, completamos o quadrado para facilitar a identificação da parábola. Para completar o quadrado no lado esquerdo:
Isso simplifica para:
Passo 4
A equação agora está na forma padrão
. Comparando com a nossa equação:
Aqui,
,
e
, então
. Isso nos mostra que a parábola tem o vértice em
e abre para a esquerda.
Passo 5
Para encontrar a reta tangente no ponto
, usamos a derivada para encontrar a inclinação da tangente. Derivando implicitamente a equação original da parábola em relação a
:
Passo 6
Isolando
:
No ponto
, substituímos
:
Passo 7
Agora que temos a inclinação da tangente,
, usamos a fórmula da reta:
Substituindo
e o ponto
:
Passo 8
Simplificando a equação para a forma geral:
Resposta
A equação da reta tangente à parábola
no ponto
é
.
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