Usando argumentos geométricos, determine a equação reta tangente à parábola P: y^2-4 y+6 x-8=0 no ponto T(-4,4).

Passo 1

Então, temos o desafio de encontrar a equação da reta tangente à parábola P: y^2 - 4y + 6x - 8 = 0 no ponto T(-4, 4). Para isso, vamos trabalhar com geometria analítica, que envolve entender a forma da parábola e como uma reta pode tocar a curva em apenas um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da parábola para identificar sua forma padrão. Começamos agrupando os termos em y:
y^2 - 4y = -6x + 8

Passo 3

Agora, completamos o quadrado para facilitar a identificação da parábola. Para completar o quadrado no lado esquerdo:
y^2 - 4y + 4 = -6x + 8 + 4
Isso simplifica para:
(y - 2)^2 = -6x + 12

Passo 4

A equação agora está na forma padrão (y - k)^2 = 4p(x - h). Comparando com a nossa equação:
(y - 2)^2 = -6(x - 2)
Aqui, h = 2, k = 2 e 4p = -6, então p = -32. Isso nos mostra que a parábola tem o vértice em (2, 2) e abre para a esquerda.

Passo 5

Para encontrar a reta tangente no ponto T(-4, 4), usamos a derivada para encontrar a inclinação da tangente. Derivando implicitamente a equação original da parábola em relação a x:
2y dydx - 4dydx + 6 = 0

Passo 6

Isolando dydx:
dydx(2y - 4) = -6
dydx = -62y - 4
No ponto T(-4, 4), substituímos y = 4:
dydx = -62(4) - 4 = -68 - 4 = -64 = -32

Passo 7

Agora que temos a inclinação da tangente, m = -32, usamos a fórmula da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo m = -32 e o ponto T(-4, 4):
y - 4 = -32(x + 4)

Passo 8

Simplificando a equação para a forma geral:
y - 4 = -32x - 6
y = -32x - 2

Resposta

A equação da reta tangente à parábola P no ponto T(-4, 4) é y = -32x - 2.

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