Plote os seguintes paraboloides:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente plotar o paraboloide definido pela equação
. Neste exercício, vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com as formas de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, precisamos entender o formato dessa equação e como ela se comporta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Essa é uma equação de um paraboloide, que é uma superfície parabólica em 3D. O que isso significa? Bem, um paraboloide pode abrir para cima ou para baixo dependendo dos sinais dos termos quadráticos.
Passo 3
No nosso caso, os termos
e
têm sinais negativos. Isso indica que o paraboloide abre para baixo. Ou seja, a superfície tem a forma de uma tigela invertida, com o vértice apontando para cima.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vértice do paraboloide. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da superfície. Para achar o vértice, observamos os valores de
e
que maximizam ou minimizam
.
Como temos
, para encontrar o máximo de
, queremos que
seja o menor possível. O menor valor de
é 0, que ocorre quando
e
.
Então, o vértice está no ponto
.
Passo 5
Vamos determinar as interseções com os eixos coordenados:
-
Eixo Z: Para encontrar a interseção com o eixo Z, deixamos
e . Assim, . Então, a interseção é no ponto , que já encontramos como vértice. -
Eixo X: Para encontrar a interseção com o eixo X, deixamos
e . Assim, => => . Então, as interseções são nos pontos e . -
Eixo Y: De igual forma, para o eixo Y, deixamos
e . Obtemos => . As interseções são e .
Passo 6
Com essas informações, podemos esboçar o paraboloide:
- Marque o vértice em
. - Plote as interseções com os eixos X e Y em
e . - Desenhe a forma de uma tigela invertida conectando esses pontos, garantindo que a superfície seja simétrica em relaç��o aos eixos.
Resposta
O paraboloide
é uma superfície simétrica que abre para baixo, com vértice no ponto
e interseções com os eixos X e Y nos pontos
e
. A partir dessas características, podemos esboçar o gráfico do paraboloide no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Plote os seguintes planos indicando seu vetor normal:
(1,0 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função
para os seguintes valores de
e
e represente-as num mesmo plano cartesiano.
Calcule a integral abaixo, interpretando-a em termos de áreas:
(a) Calcule
.
(b) Determine e esboce o domínio de .
© Determine o conjunto imagem de .
(b) Determine e esboce o domínio de
© Determine o conjunto imagem de