Plote os seguintes paraboloides:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente plotar o paraboloide definido pela equação . Neste exercício, vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com as formas de superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, precisamos entender o formato dessa equação e como ela se comporta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Essa é uma equação de um paraboloide, que é uma superfície parabólica em 3D. O que isso significa? Bem, um paraboloide pode abrir para cima ou para baixo dependendo dos sinais dos termos quadráticos.

Passo 3

No nosso caso, os termos e têm sinais negativos. Isso indica que o paraboloide abre para baixo. Ou seja, a superfície tem a forma de uma tigela invertida, com o vértice apontando para cima.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vértice do paraboloide. O vértice é o ponto mais alto ou mais baixo da superfície. Para achar o vértice, observamos os valores de e que maximizam ou minimizam .
Como temos , para encontrar o máximo de , queremos que seja o menor possível. O menor valor de é 0, que ocorre quando e .
Então, o vértice está no ponto .

Passo 5

Vamos determinar as interseções com os eixos coordenados:
  • Eixo Z: Para encontrar a interseção com o eixo Z, deixamos e . Assim, . Então, a interseção é no ponto , que já encontramos como vértice.
  • Eixo X: Para encontrar a interseção com o eixo X, deixamos e . Assim, => => . Então, as interseções são nos pontos e .
  • Eixo Y: De igual forma, para o eixo Y, deixamos e . Obtemos => . As interseções são e .

Passo 6

Com essas informações, podemos esboçar o paraboloide:
  1. Marque o vértice em .
  2. Plote as interseções com os eixos X e Y em e .
  3. Desenhe a forma de uma tigela invertida conectando esses pontos, garantindo que a superfície seja simétrica em relaç��o aos eixos.

Resposta

O paraboloide é uma superfície simétrica que abre para baixo, com vértice no ponto e interseções com os eixos X e Y nos pontos e . A partir dessas características, podemos esboçar o gráfico do paraboloide no espaço tridimensional.

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Plote os seguintes planos indicando seu vetor normal:
(1,0 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função para os seguintes valores de e e represente-as num mesmo plano cartesiano.
Calcule a integral abaixo, interpretando-a em termos de áreas:
(a) Calcule .
(b) Determine e esboce o domínio de .
© Determine o conjunto imagem de .