Calcule a integral abaixo, interpretando-a em termos de áreas:
Passo 1
Beleza, vamos calcular essa integral
. Aqui a gente vai trabalhar com integrais definidas e valor absoluto, interpretando a integral como a área entre a função
e o eixo
no intervalo de 1 a 2. Pra resolver isso, vamos precisar identificar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto onde
. Resolvendo essa equação:
Então, o ponto
é onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes, separadas pelo ponto onde a expressão muda de sinal:
Para cada intervalo, determinamos se
é positivo ou negativo.
Passo 4
No intervalo de
a
,
é negativo porque, por exemplo, em
:
Então,
. Assim, a primeira integral fica:
Passo 5
No intervalo de
a
,
é positivo porque, por exemplo, em
:
Então,
. Assim, a segunda integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a primeira integral:
Calculando nos limites:
Passo 7
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Calculando nos limites:
Resposta
Somando as duas áreas, temos:
Portanto, o valor da integral é
.