Calcule a integral abaixo, interpretando-a em termos de áreas:
integral1^2|2 x-3| d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular essa integral . Aqui a gente vai trabalhar com integrais definidas e valor absoluto, interpretando a integral como a área entre a função e o eixo no intervalo de 1 a 2. Pra resolver isso, vamos precisar identificar onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto onde 2x - 3 = 0 implies 2x = 3 implies x = 32 = 1,5 . Resolvendo essa equação:
Então, o ponto é onde a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes, separadas pelo ponto onde a expressão muda de sinal:
integral1^2 |2x - 3| , dx = integral1^1,5 |2x - 3| , dx + integral1,5^2 |2x - 3| , dx
Para cada intervalo, determinamos se é positivo ou negativo.

Passo 4

No intervalo de 2(1) - 3 = -1 < 0 a integral1^1,5 (3 - 2x) , dx , é negativo porque, por exemplo, em :
Então, . Assim, a primeira integral fica:

Passo 5

No intervalo de 2(2) - 3 = 1 > 0 a integral1,5^2 (2x - 3) , dx , é positivo porque, por exemplo, em :
Então, . Assim, a segunda integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral1^1,5 (3 - 2x) , dx = [3x - x^2]1^1,5
Calculando nos limites:
(3(1,5) - (1,5)^2) - (3(1) - (1)^2) = (4,5 - 2,25) - (3 - 1) = 2,25 - 2 = 0,25

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral1,5^2 (2x - 3) , dx = [x^2 - 3x]1,5^2
Calculando nos limites:
((2)^2 - 3(2)) - ((1,5)^2 - 3(1,5)) = (4 - 6) - (2,25 - 4,5) = (-2) - (-2,25) = 0,25

Resposta

Somando as duas áreas, temos:
0,25 + 0,25 = 0,5
Portanto, o valor da integral é .

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