Poço sem fundo. Suponha que seja possível construir um túnel atravessando a Terra de um lado ao outro, passando pelo seu centro. Pode-se provar que, ao longo do túnel, a força da gravidade é dada por
onde
é igual a
é a massa do corpo,
é a distância ao centro da Terra, e
é o raio da Terra
.
b) Com qual velocidade o objeto passaria pelo centro da Terra?
(Despreze o atrito e outras forças dissipativas)
b) Com qual velocidade o objeto passaria pelo centro da Terra?
(Despreze o atrito e outras forças dissipativas)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um túnel hipotético que atravessa a Terra pelo seu centro, e queremos descobrir com que velocidade um objeto passaria pelo centro desse túnel. A matéria envolvida aqui é a dinâmica de movimentos sob a influência da gravidade. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força gravitacional, energia potencial e conservação de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a força que atua no objeto enquanto ele se move pelo túnel. A força da gravidade é dada por:
Aqui:
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ g = 9,8 , \mathrm{m/s}² $ é a aceleração da gravidade na superfície da Terra,
- $ r $ é a distância do objeto ao centro da Terra,
- $ R = 6,37 \times 10^{6} , \mathrm{m} $ é o raio da Terra.
Essa fórmula mostra que a força da gravidade diminui linearmente à medida que o objeto se aproxima do centro da Terra.
Passo 3
Agora, vamos pensar em energia. Quando o objeto está na superfície da Terra, ele tem uma certa energia potencial gravitacional. Conforme ele desce pelo túnel, essa energia potencial é convertida em energia cinética (velocidade). No centro da Terra, toda a energia potencial foi convertida em energia cinética, assumindo que não há atritos.
A energia potencial gravitacional $ U $ para essa força pode ser calculada integrando a força em relação à distância:
Na superfície ($ r = R $), a energia potencial é:
Passo 4
No centro da Terra ($ r = 0 $), a energia potencial é zero. Então, toda a energia potencial da superfície se transforma em energia cinética $ K $:
Igualando as duas energias:
Passo 5
Podemos simplificar essa equação cancelando $ \frac{1}{2} m $ dos dois lados:
Para encontrar a velocidade $ v $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores:
- $ g = 9,8 , \mathrm{m/s}² $
- $ R = 6,37 \times 10^{6} , \mathrm{m} $
Então:
Convertendo para km/s:
Resposta
A velocidade com que o objeto passaria pelo centro da Terra é aproximadamente 7,98 km/s.