Poço sem fundo. Suponha que seja possível construir um túnel atravessando a Terra de um lado ao outro, passando pelo seu centro. Pode-se provar que, ao longo do túnel, a força da gravidade é dada por
F=-m g rR
onde g é igual a 9,8 m / s^2, m é a massa do corpo, r é a distância ao centro da Terra, e R é o raio da Terra (R=6,37 times 10^6).
b) Com qual velocidade o objeto passaria pelo centro da Terra? (7.98 km / s)
(Despreze o atrito e outras forças dissipativas)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um túnel hipotético que atravessa a Terra pelo seu centro, e queremos descobrir com que velocidade um objeto passaria pelo centro desse túnel. A matéria envolvida aqui é a dinâmica de movimentos sob a influência da gravidade. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de força gravitacional, energia potencial e conservação de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a força que atua no objeto enquanto ele se move pelo túnel. A força da gravidade é dada por:
F = -m g rR
Aqui:
  • $ m $ é a massa do objeto,
  • $ g = 9,8 , \mathrm{m/s}² $ é a aceleração da gravidade na superfície da Terra,
  • $ r $ é a distância do objeto ao centro da Terra,
  • $ R = 6,37 \times 10^{6} , \mathrm{m} $ é o raio da Terra.
Essa fórmula mostra que a força da gravidade diminui linearmente à medida que o objeto se aproxima do centro da Terra.

Passo 3

Agora, vamos pensar em energia. Quando o objeto está na superfície da Terra, ele tem uma certa energia potencial gravitacional. Conforme ele desce pelo túnel, essa energia potencial é convertida em energia cinética (velocidade). No centro da Terra, toda a energia potencial foi convertida em energia cinética, assumindo que não há atritos.
A energia potencial gravitacional $ U $ para essa força pode ser calculada integrando a força em relação à distância:
U
Na superfície ($ r = R $), a energia potencial é:
U = 12 m g r^2R í

Passo 4

No centro da Terra ($ r = 0 $), a energia potencial é zero. Então, toda a energia potencial da superfície se transforma em energia cinética $ K $:
r = 0
Igualando as duas energias:
K

Passo 5

Podemos simplificar essa equação cancelando $ \frac{1}{2} m $ dos dois lados:
12 m
Para encontrar a velocidade $ v $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
g R = v^2

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores:
  • $ g = 9,8 , \mathrm{m/s}² $
  • $ R = 6,37 \times 10^{6} , \mathrm{m} $
Então:
g = 9,8 , m/s²
Convertendo para km/s:
R = 6,37 times 10^6 , m

Resposta

A velocidade com que o objeto passaria pelo centro da Terra é aproximadamente 7,98 km/s.

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