Determine se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma da série.
a) sumn=1^infty 1n^2
b) sumn=1^infty 1n
c) sumn=1^infty (-1)^nn
d) sumn=0^infty 2^n3^n

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a série infinita sumn=1^infty 1n^2 e precisamos descobrir se ela converge (ou seja, se a soma dos termos tende a um número finito) ou diverge (a soma cresce sem limite). Para isso, vamos usar o teste da série p, que é uma ferramenta da análise de séries.

Passo 2

O teste da série p nos diz que uma série da forma sumn=1^infty 1n^p converge se o expoente p > 1 e diverge se p <= 1. No nosso caso, comparando com 1n^2, vemos que p = 2.

Passo 3

Como p = 2 é maior que 1, de acordo com o teste da série p, a série sumn=1^infty 1n^2 converge.

Passo 4

Agora vamos para a segunda série: sumn=1^infty 1n. Precisamos determinar se ela converge ou diverge usando os conhecimentos de séries.

Passo 5

Esta série é conhecida como a série harmônica. Podemos aplicar o teste da série p novamente. Aqui, a série é sumn=1^infty 1n^p com p = 1.

Passo 6

De acordo com o teste da série p, se p = 1, a série diverge. Isso significa que a soma dos termos da série harmônica cresce sem limite.

Passo 7

Vamos para a terceira série: sumn=1^infty (-1)^nn. Precisamos verificar se ela converge ou diverge.

Passo 8

Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal devido ao (-1)^n. Para séries alternadas, podemos usar o teste da série alternada de Leibniz, que diz que a série sumn=1^infty (-1)^n an converge se:
  1. an > 0 para todo n,
  2. an é decrescente,
  3. limn to infty an = 0.
No nosso caso, an = 1n.

Passo 9

Vamos verificar as condições:
  1. an = 1n > 0 para todo n,
  2. 1n é uma sequência decrescente,
  3. limn to infty 1n = 0.
Como todas as condições são atendidas, a série converge pelo teste de Leibniz.

Passo 10

Por fim, vamos analisar a quarta série: sumn=0^infty 2^n3^n. Precisamos determinar se ela converge ou diverge e, se convergir, encontrar a soma.

Passo 11

Essa é uma série geométrica, que tem a forma sumn=0^infty ar^n, onde a é o primeiro termo e r é a razão. As séries geométricas convergem se |r| < 1 e divergem se |r| >= 1. Se convergem, a soma é a1 - r.
No nosso caso, a = 1 (quando n=0, 2^0/3^0 = 1) e r = 23.

Passo 12

Vamos verificar a razão: |23| = 23 < 1. Portanto, a série geométrica converge.
Para encontrar a soma, usamos a fórmula a1 - r = 11 - 23 = 113 = 3.

Resposta

A série sumn=0^infty 2^n3^n converge e a soma da série é 3.

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