Determine se a série converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma da série.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a série infinita
e precisamos descobrir se ela converge (ou seja, se a soma dos termos tende a um número finito) ou diverge (a soma cresce sem limite). Para isso, vamos usar o teste da série p, que é uma ferramenta da análise de séries.
Passo 2
O teste da série p nos diz que uma série da forma
converge se o expoente
e diverge se
. No nosso caso, comparando com
, vemos que
.
Passo 3
Como
é maior que 1, de acordo com o teste da série p, a série
converge.
Passo 4
Agora vamos para a segunda série:
. Precisamos determinar se ela converge ou diverge usando os conhecimentos de séries.
Passo 5
Esta série é conhecida como a série harmônica. Podemos aplicar o teste da série p novamente. Aqui, a série é
com
.
Passo 6
De acordo com o teste da série p, se
, a série diverge. Isso significa que a soma dos termos da série harmônica cresce sem limite.
Passo 7
Vamos para a terceira série:
. Precisamos verificar se ela converge ou diverge.
Passo 8
Essa é uma série alternada porque os termos mudam de sinal devido ao
. Para séries alternadas, podemos usar o teste da série alternada de Leibniz, que diz que a série
converge se:
-
para todo , -
é decrescente, -
.
No nosso caso,
.
Passo 9
Vamos verificar as condições:
-
para todo , -
é uma sequência decrescente, -
.
Como todas as condições são atendidas, a série converge pelo teste de Leibniz.
Passo 10
Por fim, vamos analisar a quarta série:
. Precisamos determinar se ela converge ou diverge e, se convergir, encontrar a soma.
Passo 11
Essa é uma série geométrica, que tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. As séries geométricas convergem se
e divergem se
. Se convergem, a soma é
.
No nosso caso,
(quando
,
) e
.
Passo 12
Vamos verificar a razão:
. Portanto, a série geométrica converge.
Para encontrar a soma, usamos a fórmula
.
Resposta
A série
converge e a soma da série é 3.