Como pode ser obtido o espectro de frequência de um sinal periódico? Exemplifique.

Passo 1

Beleza! Então, a gente vai resolver uma questão sobre espectro de frequência de um sinal periódico. Isso faz parte da matéria de Sinais e Sistemas. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre Série de Fourier, que nos ajuda a decompor sinais periódicos em diferentes frequências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um sinal periódico. É um sinal que se repete em intervalos regulares de tempo. Por exemplo, uma onda senoidal que se repete a cada segundo.

Passo 3

Agora, para obter o espectro de frequência desse sinal, usamos a Série de Fourier. A ideia é quebrar o sinal em uma soma de senos e cossenos com diferentes frequências, amplitudes e fases.

Passo 4

A fórmula geral da Série de Fourier para um sinal periódico $ f(t) $ com período $ T $ é:
f(t)
Aqui, $ a_0 $ é a componente contínua, e $ a_n $, $ b_n $ são os coeficientes que determinam as amplitudes das diferentes frequências.

Passo 5

Para achar esses coeficientes ($ a_n $ e $ b_n $), a gente integra o sinal multiplicado por senos e cossenos correspondentes:
an
bn

Passo 6

Vamos dar um exemplo prático. Suponha que temos um sinal periódico quadrado com período $ T $. Esse sinal alterna entre +A e -A a cada meio período.

Passo 7

Calculando os coeficientes da Série de Fourier para o sinal quadrado, descobrimos que somente os harmônicos ímpares (n = 1, 3, 5, …) têm amplitude diferente de zero. A expressão simplificada fica:
f(t) = 4Api [ sin(2pi tT) + 13sin(6pi tT) + 15sin(10pi tT) + cdots ]

Resposta

Assim, o espectro de frequência de um sinal periódico pode ser obtido decompondo-o em uma série de senos e cossenos através da Série de Fourier, identificando as diferentes frequências e suas amplitudes. No exemplo do sinal quadrado, o espectro mostra apenas harmônicos ímpares, cada um com amplitude inversamente proporcional ao seu número harmônico.

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