Esboçar os diagramas de Bode para a seguinte função de transferência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar os diagramas de Bode para a função de transferência $ G(s) = \frac{1000 s + 10}{s^{2} + 10 s + 100} $. Isso tá dentro do conteúdo de Controle de Sistemas, mais especificamente analisando a resposta em frequência de sistemas. Para isso, vamos precisar entender como decompor a função de transferência em seus componentes básicos (zeros e polos) e como cada um deles contribui para os diagramas de magnitude e fase.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os zeros e polos da função de transferência. O zero é o valor de $ s $ que faz o numerador igual a zero, e os polos são os valores de $ s $ que fazem o denominador igual a zero.
Para o numerador $ 1000 s + 10 $:
Então, temos um zero em $ s = -0.01 $.
Para o denominador $ s^{2} + 10 s + 100 $, resolvemos a equação quadrática:
Simplificando
, então os polos estão em $ s = -5 \pm j5\sqrt{3} $.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada componente na frequência. Nos diagramas de Bode, representamos a resposta em função da frequência
(rad/s).
Primeiro, reescrevemos $ G(s) $ em termos de $ j\omega $:
Vamos separar magnitudes e fases:
Magnitude:
Fase:
Passo 4
Para esboçar os diagramas, vamos identificar os pontos de corte (frequências onde a magnitude muda devido aos zeros e polos) e calcular as pendências nos gráficos de magnitude e fase.
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Zero em $ \omega = 0.01 $ rad/s:
- Afeta o diagrama de magnitude aumentando em +20 dB/deca cada vez que passamos dessa frequência.
- Afeta a fase aumentando $ +45^\circ $ em torno dessa frequência.
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Polos complexos em $ \omega = 5\sqrt{3} $ rad/s (~8.66 rad/s):
- Cada polo afeta o diagrama de magnitude diminuindo em -20 dB/deca a partir dessa frequência.
- Cada polo afeta a fase diminuindo $ -45^\circ $ em torno dessa frequência.
Passo 5
Vamos desenhar os diagramas de magnitude e fase:
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Magnitude:
- Para $ \omega $ muito menor que 0.01 rad/s, $ |G(j\omega)| $ será dominado pelo termo constante.
- A partir de $ \omega = 0.01 $ rad/s, começa a aumentar a magnitude devido ao zero.
- A partir de $ \omega = 8.66 $ rad/s, a magnitude começa a diminuir devido aos polos.
-
Fase:
- Para $ \omega $ muito menor que 0.01 rad/s, a fase está próxima de 0°.
- A partir de $ \omega = 0.01 $ rad/s, a fase começa a subir até cerca de +45°.
- A partir de $ \omega = 8.66 $ rad/s, a fase começa a descer, aproximando-se de -45° por cada polo, totalizando cerca de -90°.
Resposta
Os diagramas de Bode para a função de transferência $ G(s) = \frac{1000 s + 10}{s^{2} + 10 s + 100} $ apresentam:
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Diagrama de Magnitude: Inicia com uma magnitude constante para baixas frequências, aumenta a partir de $ \omega = 0.01 $ rad/s devido ao zero, e começa a decair a partir de $ \omega \approx 8.66 $ rad/s devido aos polos, resultando em um ganho que primeiro sobe e depois desce conforme a frequência aumenta.
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Diagrama de Fase: Começa próximo de 0°, sobe até +45° por volta de $ \omega = 0.01 $ rad/s devido ao zero, e depois desce para cerca de -90° por volta de $ \omega \approx 8.66 $ rad/s devido aos polos.
Esses esboços refletem como a função de transferência responde em termos de ganho e fase ao variar a frequência.