Podemos afirmar que

Escolha uma opção:
c.
nexists c>0
tal que
|an| <= c
para todo n, isto é
a_n
não é uma sequência limitada.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está analisando se uma sequência é limitada ou não. Nesse contexto, uma sequência é limitada se existir um número real positivo tal que o valor absoluto de cada termo da sequência seja menor ou igual a para todo . Ou seja, a sequência não “explode” para o infinito. O que a opção c. está dizendo é que não existe tal , ou seja, não é uma sequência limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência ser limitada. Uma sequência é limitada se conseguimos encontrar um valor que funcione como um “limite” para todos os termos da sequência. Matematicamente, isso é representado por:
Isso quer dizer que independente de qual termo você pegar na sequência, seu valor absoluto nunca vai passar desse limite .

Passo 3

Agora, a opção c. está falando da negação dessa definição. Ela afirma que:
Ou seja, não existe nenhum número positivo que consiga limitar todos os termos da sequência. Isso implica que a sequência cresce sem limites, ou seja, ela não é limitada.

Passo 4

Para confirmar se essa afirmação está correta, precisamos analisar o comportamento da sequência . Se os termos de aumentarem indefinidamente, sem se aproximarem de um valor fixo, então realmente não existe um que os limite.
Por exemplo, considere a sequência . Aqui, para cada termo que você calcula, ele é maior que o anterior:
  • E assim por diante…
Não importa qual você escolha, sempre vai existir um tal que . Portanto, essa sequência não é limitada.

Passo 5

Com base nessa análise, se a sequência não consegue ser limitada por nenhum , então a afirmação da opção c. está correta. Ela está dizendo exatamente isso: que não existe um limite que restrinja todos os termos de , ou seja, não é uma sequência limitada.

Resposta

A opção c. está correta porque não existe um número positivo que limite todos os termos da sequência , ou seja, não é uma sequência limitada.

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