(b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
parte (b)
lim h 0 2,7^h-1h e lim h 0 2,8^h-1h
com precisão até a segunda casa decimal. O que você pode concluir sobre o valor de e ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar uma calculadora para estimar os valores de dois limites, especificamente:
lim h 0 2,7^h-1h e lim h 0 2,8^h-1h
Isso se relaciona com o cálculo de limites em funções exponenciais. Para resolver, vamos calcular essa expressão para valores de cada vez menores e ver para onde os resultados estão indo. No final, veremos o que isso nos diz sobre o número .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da expressão. Temos:
a^h - 1h
Onde é uma constante (2,7 ou 2,8) e é um valor que se aproxima de 0. Esse tipo de limite está relacionado ao cálculo da derivada de uma função exponencial.

Passo 3

Vamos começar calculando para 2,7^0,1 - 10,1 approx 1,09648 - 10,1 = 0,096480,1 = 0,9648 . Vamos escolher alguns valores pequenos para 2,7^0,01 - 10,01 approx 1,00949 - 10,01 = 0,009490,01 = 0,949 :
  • Para 2,7^0,001 - 10,001 approx 1,00095 - 10,001 = 0,000950,001 = 0,95 :
  • Para :
  • Para :
Vemos que conforme fica menor, o resultado se aproxima de 0,95.

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para 2,8^0,1 - 10,1 approx 1,10395 - 10,1 = 0,103950,1 = 1,0395 :
  • Para 2,8^0,01 - 10,01 approx 1,01037 - 10,01 = 0,010370,01 = 1,037 :
2,8^0,001 - 10,001 approx 1,00104 - 10,001 = 0,001040,001 = 1,04
  • Para :
  • Para :
Aqui, conforme diminui, o resultado está se aproximando de 1,04.

Passo 5

Observando os resultados:
  • Para , o limite está se aproximando de 0,95.
  • Para , o limite está se aproximando de 1,04.
Esses valores estão próximos de 1, o que nos dá uma dica sobre o número . Na matemática, é a base natural dos logaritmos e tem um valor aproximado de 2,71828. Observando que para o limite é próximo de 0,95 e para é próximo de 1,04, percebemos que é o valor de para o qual esse limite é exatamente 1.

Resposta

Com base nas estimativas, concluímos que para o limite é igual a 1. Portanto, o valor de é a base para a qual esse limite resulta exatamente em 1.

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