(b) Use uma calculadora para estimar os valores dos limites
parte (b)
com precisão até a segunda casa decimal. O que você pode concluir sobre o valor de
?
parte (b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente usar uma calculadora para estimar os valores de dois limites, especificamente:
Isso se relaciona com o cálculo de limites em funções exponenciais. Para resolver, vamos calcular essa expressão para valores de
cada vez menores e ver para onde os resultados estão indo. No final, veremos o que isso nos diz sobre o número
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da expressão. Temos:
Onde
é uma constante (2,7 ou 2,8) e
é um valor que se aproxima de 0. Esse tipo de limite está relacionado ao cálculo da derivada de uma função exponencial.
Passo 3
Vamos começar calculando para
. Vamos escolher alguns valores pequenos para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Vemos que conforme
fica menor, o resultado se aproxima de 0,95.
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Aqui, conforme
diminui, o resultado está se aproximando de 1,04.
Passo 5
Observando os resultados:
- Para
, o limite está se aproximando de 0,95. - Para
, o limite está se aproximando de 1,04.
Esses valores estão próximos de 1, o que nos dá uma dica sobre o número
. Na matemática,
é a base natural dos logaritmos e tem um valor aproximado de 2,71828. Observando que para
o limite é próximo de 0,95 e para
é próximo de 1,04, percebemos que
é o valor de
para o qual esse limite é exatamente 1.
Resposta
Com base nas estimativas, concluímos que para
o limite
é igual a 1. Portanto, o valor de
é a base para a qual esse limite resulta exatamente em 1.