Encontre o valor da área da região limitada pela curva y = x / (2 x^2 + 4), pelo eixo das abscissas, pelo eixo das ordenadas e pela reta x = 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Cálculo que pede para encontrar a área da região limitada pela curva , pelo eixo das abscissas (o eixo ), pelo eixo das ordenadas (o eixo ) e pela reta vertical . Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas sob curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A área que queremos está entre (eixo ) e . Vamos desenhar isso para visualizar melhor: a curva começa em e vai até .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral que vai nos dar essa área. A fórmula básica para a área sob uma curva entre dois pontos e é:
Á
Neste caso, , e . Então, a integral fica:
Á

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Perceba que temos um na nossa integral original, então podemos rearranjar:

Passo 5

Substituindo na integral original:
Á
A integral de é , então:
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar já que vamos calcular entre os limites.

Passo 6

Voltando para a variável original :
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Á

Passo 7

Calculando os valores dentro dos logaritmos:
Então:
Á

Passo 8

Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que , então:
Á

Passo 9

Calculando o valor numérico:

Resposta

A área da região limitada é aproximadamente unidades de área.

Exercícios relacionados