Encontre o valor da área da região limitada pela curva
, pelo eixo das abscissas, pelo eixo das ordenadas e pela reta
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Cálculo que pede para encontrar a área da região limitada pela curva
, pelo eixo das abscissas (o eixo
), pelo eixo das ordenadas (o eixo
) e pela reta vertical
. Para isso, vamos precisar entender como calcular áreas sob curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A área que queremos está entre
(eixo
) e
. Vamos desenhar isso para visualizar melhor: a curva
começa em
e vai até
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral que vai nos dar essa área. A fórmula básica para a área sob uma curva entre dois pontos
e
é:
Neste caso,
,
e
. Então, a integral fica:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar substituição. Vamos deixar
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Perceba que temos um
na nossa integral original, então podemos rearranjar:
Passo 5
Substituindo na integral original:
A integral de
é
, então:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar já que vamos calcular entre os limites.
Passo 6
Voltando para a variável original
:
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Passo 7
Calculando os valores dentro dos logaritmos:
Então:
Passo 8
Usando propriedades dos logaritmos, sabemos que
, então:
Passo 9
Calculando o valor numérico:
Resposta
A área da região limitada é aproximadamente
unidades de área.