1. Podemos aplicar o vetor gradiente em diversas situações, uma delas é encontrar o valor do vetor gradiente superficie. Pensando nesse conceito, qual seria o valor do vetor gradiente no ponto descrito pelas coordenadas (-2, 1,-3) do elipsoide e de equação descrita \frac{x^{2}}{4} y^{2} \frac{z^{2}}{9}=3z Assinale a alternativa correta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pergunta sobre o vetor gradiente em um ponto específico de um elipsoide. O enunciado nos dá as coordenadas do ponto (-2, 1, -3) e a equação do elipsoide, que é x^24 + y^2 + z^29 = 3z. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor do vetor gradiente nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradiente e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função F(x, y, z) é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
nabla F = ( partial Fpartial x, partial Fpartial y, partial Fpartial z )
No nosso caso, vamos considerar a equação do elipsoide como F(x, y, z) = x^24 + y^2 + z^29 - 3z. Queremos encontrar o gradiente dessa função no ponto (-2, 1, -3).

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de F em relação a cada variável:
  1. Derivada parcial em relação a x:
partial Fpartial x = 2x4 = x2
  1. Derivada parcial em relação a y:
partial Fpartial y = 2y
  1. Derivada parcial em relação a z:
partial Fpartial z = 2z9 - 3

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto (-2, 1, -3):
  1. Para x = -2:
partial Fpartial x = -22 = -1
  1. Para y = 1:
partial Fpartial y = 2 times 1 = 2
  1. Para z = -3:
partial Fpartial z = 2 times (-3)9 - 3 = -69 - 3 = -23 - 3 = -113

Passo 5

Com as derivadas avaliadas, o vetor gradiente no ponto (-2, 1, -3) fica:
nabla F = ( -1, 2, -113 )

Resposta

O vetor gradiente no ponto (-2, 1, -3) é nabla F = ( -1, 2, -dfrac113 ).

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