- Podemos aplicar o vetor gradiente em diversas situações, uma delas é encontrar o valor do vetor gradiente superficie. Pensando nesse conceito, qual seria o valor do vetor gradiente no ponto descrito pelas coordenadas (-2, 1,-3) do elipsoide e de equação descrita \frac{x^{2}}{4} y^{2} \frac{z^{2}}{9}=3z Assinale a alternativa correta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pergunta sobre o vetor gradiente em um ponto específico de um elipsoide. O enunciado nos dá as coordenadas do ponto
e a equação do elipsoide, que é
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor do vetor gradiente nesse ponto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradiente e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o vetor gradiente. O gradiente de uma função
é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é dado por:
No nosso caso, vamos considerar a equação do elipsoide como
. Queremos encontrar o gradiente dessa função no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada variável:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Com as derivadas avaliadas, o vetor gradiente no ponto
fica:
Resposta
O vetor gradiente no ponto
é
.