Seja T um operador linear definido no R². Sabendo que sua matriz em relação à base alfa a={(1,-1),(1,1,)} é [T]a é a matriz 2x2 sendo a primeira linha da matriz [1,-1] e a segunda linha [0, 2], assinale a alternativa que define T. a. T(x,y) = (x+y, y) b. T(x,y) = (-x+y, x) c. T(x,y) = (-y, x+y) d. T(x,y) = (x, x+y) e. T(x,y) = (-y, x-y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um operador linear $ T $ definido no T . A gente sabe como esse operador se comporta quando usamos uma base específica, chamada de base R^2. A matriz desse operador nessa base é uma matriz 2x2 dada por:
alpha = (1, -1), (1, 1)
Nosso objetivo é descobrir qual das alternativas (a, b, c, d ou e) corresponde a esse operador $ T $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um operador linear pode ser representado por uma matriz em relação a uma base específica. Essa matriz nos diz como o operador age nos vetores da base. No caso, a matriz [T]alpha nos diz como $ T $ transforma os vetores da base T .
Para entender como $ T $ age em qualquer vetor $ (x, y) $ do alpha, precisamos relacionar a base T com a base padrão do (x, y) , que é R^2.

Passo 3

Vamos chamar os vetores da base alpha de $ v_1 = (1, -1) $ e $ v_2 = (1, 1) $. A matriz v1 = (1, -1) nos diz que:
v2 = (1, 1)
[T]alpha
Agora, vamos calcular essas expressões:
T(v1) = 1 cdot v1 + (-1) cdot v2 = v1 - v2
T(v2) = 0 cdot v1 + 2 cdot v2 = 2v2
Então, temos que:
v1 - v2 = (1, -1) - (1, 1) = (0, -2)

Passo 4

Agora, queremos expressar $ T(x, y) $ para qualquer vetor $ (x, y) $. Sabemos que qualquer vetor $ (x, y) $ pode ser escrito como uma combinação linear de $ v_1 $ e $ v_2 $:
T(x, y)
Resolvendo esse sistema:
(x, y)
Somando as duas equações:
(x, y)
Substituindo em uma das equações:
v1
Então,
v2
Calculando cada parte:
(x, y) = a cdot v1 + b cdot v2 = a(1, -1) + b(1, 1)
1a + 1b = x -1a + 1b = y
Somando as duas:
2b = x + y implies b = x + y2

Passo 5

Agora vamos comparar com as alternativas:
a. $ T(x, y) = (x + y, y) $
b. $ T(x, y) = (-x + y, x) $
c. $ T(x, y) = (-y, x + y) $
d. $ T(x, y) = (x, x + y) $
e. $ T(x, y) = (-y, x - y) $
A nossa conclusão foi $ T(x, y) = (x + y, 2y) $, que não está exatamente listada nas alternativas. Parece que houve um erro no cálculo. Vamos revisar.
Na verdade, ao somar as componentes:
T(x, y) = (x + y, y)
Percebo que na segunda coordenada $ -x + y + x + y = 2y $, que resulta em $ (x + y, 2y) $. Porém, nenhuma das alternativas apresenta exatamente $ 2y $ na segunda coordenada. Vamos verificar se houve algum erro nos cálculos anteriores ou na interpretação.
Revisitando o Passo 4, a representação correta após aplicar $ T $:
T(x, y) = (-x + y, x)
Observando as alternativas, a alternativa a $ T(x, y) = (x + y, y) $ é a mais próxima, mas ainda assim difere na segunda coordenada. Pode ser que a matriz fornecida esteja com uma interpretação diferente ou que haja um ajuste na base que precisa ser considerado.
Após reconsiderar, a alternativa correta que mais se aproxima do resultado obtido é a:

Resposta

Alternativa a. $ T(x, y) = (x + y, y) $

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