Suponha que o móvel se mova do ponto inicial P_0=(0,0,3), correspondendo a t_1,correspondendo a t=t_1, ao longo de uma curva no espaço de equações X=3sen(t), y=4t e Z =3 cos(t), na direçao positiva. sabendo que o comprimento de arco sobre a curva de P_0 a P_1 mede 5 unidade e considerando a equação de comprimento de arco, assinale a alternativa que indica as coordenadas do ponto P_1:
a. P_1=(3sen(1),4,3cos(1)).
b.P_1=(3sen(5),5,3cos(5)).
c.P_1=(3sen(1),4,3cos(3)).
d.P_1=(3sen(5),4,3cos(4)).
e.P_1=(3sen(1),4,3cos(2)).​

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um móvel que se move ao longo de uma curva no espaço definida pelas equações paramétricas:
X(t) = 3sin(t), Y(t) = 4t, Z(t) = 3cos(t)
O ponto inicial dessa trajetória é $ P_0 = (0, 0, 3) $ quando $ t = 0 $. Queremos encontrar as coordenadas do ponto $ P_1 $ onde o móvel estará após percorrer um comprimento de arco de 5 unidades ao longo da curva. Para isso, vamos usar a fórmula do comprimento de arco em curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o comprimento de arco de uma curva parametrizada. A fórmula geral para o comprimento de arco $ S $ de $ t = a $ a $ t = b $ é:
S
Isso significa que precisamos derivar cada uma das funções $ X(t) $, $ Y(t) $ e $ Z(t) $ em relação a $ t $, quadrar essas derivadas, somar tudo e então integrar de $ t = 0 $ a $ t = t_1 $, onde $ t_1 $ é o tempo que corresponde ao comprimento de arco de 5 unidades.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções:
dXdt = 3cos(t)
dYdt = 4
dZdt = -3sin(t)
Agora, vamos substituir essas derivadas na fórmula do comprimento de arco:
S = integral0^t1 raiz(3cos(t))^2 + (4)^2 + (-3sin(t))^2 , dt

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
(3cos(t))^2 = 9cos^2(t)
(4)^2 = 16
(-3sin(t))^2 = 9sin^2(t)
Somando tudo:
9cos^2(t) + 16 + 9sin^2(t) = 9(cos^2(t) + sin^2(t)) + 16 = 9(1) + 16 = 25
Pois sabemos que $ \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 $.

Passo 5

Com a expressão simplificada, a integral fica:
S = integral0^t1 raiz25 , dt = integral0^t1 5 , dt = 5t1
Queremos que o comprimento de arco $ S $ seja igual a 5 unidades:
S

Passo 6

Agora que encontramos $ t_1 = 1 $, substituímos esse valor nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas de $ P_1 $:
t1 = 1
P1
X(1) = 3sin(1)
Portanto, as coordenadas de $ P_1 $ são $ \left(3\sin(1), 4, 3\cos(1)\right) $.

Resposta

A alternativa correta é a letra a. $ P_1 = (3\sin(1), 4, 3\cos(1)) $.

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