Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo Ox segundo a função horária:x =0,4* cos( pi/2 t+ pi)(Sl)Determine:
a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o período do movimento;
b) a velocidade escalar e a aceleração escalar nos instantes t = 1set = 2s

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma função que descreve o movimento de um ponto material ao longo do eixo Ox. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como amplitude, pulsação, fase inicial e período, além de calcular a velocidade e a aceleração em determinados instantes de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função horária do movimento que foi dada:
x = 0,4 cdot cos(pi2 t + pi)
Nessa equação, $ x $ é a posição do ponto material no tempo $ t $.

Passo 3

Vamos comparar essa função com a forma geral da função horária do MHS:
x = A cdot cos(omega t + phi)
Onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega $ é a pulsação,
- $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 4

Comparando as duas equações, podemos identificar os seguintes componentes:
  • Amplitude ($ A $): 0,4 Sl,
  • Pulsação ($ \omega $): $ \frac{\pi}{2} $ rad/s,
  • Fase inicial ($ \phi $): $ \pi $ rad.

Passo 5

Para encontrar o período ($ T $) do movimento, usamos a relação entre pulsação e período:
T
Substituindo $ \omega = \frac{\pi}{2} $:
T = 2piomega

Passo 6

Agora, para a parte b, vamos calcular a velocidade escalar ($ v(t) v(t) çã a(t) $) nos instantes $ t = 1 , s $ e $ t = 2 , s $.
A fórmula da velocidade no MHS é a derivada da posição em relação ao tempo:
a(t)
E a aceleração é a derivada da velocidade:
t = 1 , s

Passo 7

Vamos calcular $ v(t) $ e $ a(t) $ para $ t = 1 , s $:
Primeiro, substituindo na fórmula da velocidade:
v(t)
a(t)
t = 1 , s
Sabemos que $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $, então:
v(1) = -0,4 cdot pi2 cdot sin(pi2 cdot 1 + pi)
Agora, para a aceleração:
v(1) = -0,2pi cdot sin(pi2 + pi)
v(1) = -0,2pi cdot sin(3pi2)
sin(3pi2) = -1
Sabemos que $ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $, então:
v(1) = -0,2pi cdot (-1) = 0,2pi , Sl/s

Passo 8

Agora, vamos calcular $ v(t) $ e $ a(t) $ para $ t = 2 , s $:
Primeiro, para a velocidade:
v(t)
a(t)
t = 2 , s
Sabemos que $ \sin(2\pi) = 0 $, então:
v(2) = -0,4 cdot pi2 cdot sin(pi2 cdot 2 + pi)
Agora, para a aceleração:
v(2) = -0,2pi cdot sin(pi + pi)
v(2) = -0,2pi cdot sin(2pi)
sin(2pi) = 0
Sabemos que $ \cos(3\pi) = -1 $, então:
v(2) = -0,2pi cdot 0 = 0 , Sl/s

Resposta

a) Amplitude: 0,4 Sl
Pulsação: $ \frac{\pi}{2} $ rad/s
Fase inicial: $ \pi $ rad
Período: 4 s
b)
  • Para t = 1 s:
    Velocidade escalar: $ 0,2\pi $ Sl/s
    Aceleração escalar: 0 Sl/s²
  • Para t = 2 s:
    Velocidade escalar: 0 Sl/s
    Aceleração escalar: $ 0,1\pi^2 $ Sl/s²

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