Um ponto material realiza um MHS sobre um eixo Ox segundo a função horária:x =0,4* cos( pi/2 t+ pi)(Sl)Determine:
a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o período do movimento;
b) a velocidade escalar e a aceleração escalar nos instantes t = 1set = 2s
a) a amplitude, a pulsação, a fase inicial e o período do movimento;
b) a velocidade escalar e a aceleração escalar nos instantes t = 1set = 2s
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma função que descreve o movimento de um ponto material ao longo do eixo Ox. Para resolver, vamos precisar entender conceitos como amplitude, pulsação, fase inicial e período, além de calcular a velocidade e a aceleração em determinados instantes de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função horária do movimento que foi dada:
Nessa equação, $ x $ é a posição do ponto material no tempo $ t $.
Passo 3
Vamos comparar essa função com a forma geral da função horária do MHS:
Onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega $ é a pulsação,
- $ \phi $ é a fase inicial.
Passo 4
Comparando as duas equações, podemos identificar os seguintes componentes:
- Amplitude ($ A $): 0,4 Sl,
- Pulsação ($ \omega $): $ \frac{\pi}{2} $ rad/s,
- Fase inicial ($ \phi $): $ \pi $ rad.
Passo 5
Para encontrar o período ($ T $) do movimento, usamos a relação entre pulsação e período:
Substituindo $ \omega = \frac{\pi}{2} $:
Passo 6
Agora, para a parte b, vamos calcular a velocidade escalar ($ v(t)
a(t) $) nos instantes $ t = 1 , s $ e $ t = 2 , s $.
A fórmula da velocidade no MHS é a derivada da posição em relação ao tempo:
E a aceleração é a derivada da velocidade:
Passo 7
Vamos calcular $ v(t) $ e $ a(t) $ para $ t = 1 , s $:
Primeiro, substituindo na fórmula da velocidade:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1 $, então:
Agora, para a aceleração:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0 $, então:
Passo 8
Agora, vamos calcular $ v(t) $ e $ a(t) $ para $ t = 2 , s $:
Primeiro, para a velocidade:
Sabemos que $ \sin(2\pi) = 0 $, então:
Agora, para a aceleração:
Sabemos que $ \cos(3\pi) = -1 $, então:
Resposta
a) Amplitude: 0,4 Sl
Pulsação: $ \frac{\pi}{2} $ rad/s
Fase inicial: $ \pi $ rad
Período: 4 s
Pulsação: $ \frac{\pi}{2} $ rad/s
Fase inicial: $ \pi $ rad
Período: 4 s
b)
-
Para t = 1 s:
Velocidade escalar: $ 0,2\pi $ Sl/s
Aceleração escalar: 0 Sl/s² -
Para t = 2 s:
Velocidade escalar: 0 Sl/s
Aceleração escalar: $ 0,1\pi^2 $ Sl/s²