A única fonte de renda de um cabelereiro é proveniente de seu salão. ele cobra r$10,00 por cada serviço realizado e atende 200 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês. para que a renda do cabelereiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre renda máxima para um cabelereiro. O assunto aqui é funções de receita e otimização, que fazem parte da matemática financeira. A gente vai precisar usar uma função matemática para representar a renda do cabelereiro e descobrir qual preço por serviço ele deve cobrar para maximizar essa renda.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular a renda do cabelereiro. A renda $ R $ dele depende de quantos serviços ele realiza e de quanto ele cobra por cada um. Se ele cobra $ p $ reais por serviço e realiza $ n $ serviços por mês, a renda é dada por:
Passo 3
Agora, vamos ver como o preço afeta o número de clientes. Inicialmente, ele cobra R$10,00 por serviço e atende 200 clientes por mês. Se ele aumentar o preço, cada real a mais vai diminuir o número de clientes em 10 por mês.
Vamos chamar o aumento no preço de $ x $ reais. Então, o novo preço será:
E o novo número de clientes será:
Passo 4
Substituindo as expressões de $ p $ e $ n $ na fórmula da renda, temos:
Vamos expandir essa expressão para facilitar a análise:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos uma função quadrática da forma:
Essa é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo), o que significa que ela tem um ponto máximo.
Passo 6
Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a renda, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Aqui, $ a = -10 $ e $ b = 100 $. Substituindo na fórmula:
Passo 7
Então, o aumento no preço que maximiza a renda é de R$5,00. Portanto, o preço que o cabelereiro deve cobrar por serviço para ter a renda máxima é:
Resposta
O cabelereiro deve cobrar R$15,00 por serviço para maximizar sua renda mensal.