A única fonte de renda de um cabelereiro é proveniente de seu salão. ele cobra r$10,00 por cada serviço realizado e atende 200 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês. para que a renda do cabelereiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre renda máxima para um cabelereiro. O assunto aqui é funções de receita e otimização, que fazem parte da matemática financeira. A gente vai precisar usar uma função matemática para representar a renda do cabelereiro e descobrir qual preço por serviço ele deve cobrar para maximizar essa renda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a renda do cabelereiro. A renda $ R $ dele depende de quantos serviços ele realiza e de quanto ele cobra por cada um. Se ele cobra $ p $ reais por serviço e realiza $ n $ serviços por mês, a renda é dada por:
R

Passo 3

Agora, vamos ver como o preço afeta o número de clientes. Inicialmente, ele cobra R$10,00 por serviço e atende 200 clientes por mês. Se ele aumentar o preço, cada real a mais vai diminuir o número de clientes em 10 por mês.
Vamos chamar o aumento no preço de $ x $ reais. Então, o novo preço será:
10,00 por serviço e atende 200 clientes por mês Se e<= aumentar o preço, cada real a mais vai diminuir o número de clientes em 10 por mês Vamos chamar o aumento no preço de
E o novo número de clientes será:
reais Então, o novo preço será:

Passo 4

Substituindo as expressões de $ p $ e $ n $ na fórmula da renda, temos:
p
Vamos expandir essa expressão para facilitar a análise:
n
R = (10 + x) times (200 - 10x)
Simplificando:
R = 10 times 200 + 10 times (-10x) + x times 200 + x times (-10x)

Passo 5

Agora, temos uma função quadrática da forma:
R(x) = -10x^2 + 100x + 2000
Essa é uma parábola que abre para baixo (porque o coeficiente de $ x^2 $ é negativo), o que significa que ela tem um ponto máximo.

Passo 6

Para encontrar o valor de $ x $ que maximiza a renda, usamos a fórmula do vértice da parábola:
x
Aqui, $ a = -10 $ e $ b = 100 $. Substituindo na fórmula:
xv = -b2a
a = -10
b = 100

Passo 7

Então, o aumento no preço que maximiza a renda é de R$5,00. Portanto, o preço que o cabelereiro deve cobrar por serviço para ter a renda máxima é:
5,00 Portanto, o preço que o cabe<=reiro deve cobrar por serviço para ter a renda máxima é:

Resposta

O cabelereiro deve cobrar R$15,00 por serviço para maximizar sua renda mensal.

Exercícios relacionados