De um ponto situado a 80m acima do solo, uma particula é lançada verticalmente para cima, com uma velocidade de 42m/s. Adotando g=10m/s², determine:
a) O tempo de subida;
b) A altura máxima atingida em relação ao solo;
c) O tempo gasto para atingir o solo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula que é lançada para cima a partir de um ponto que está 80 metros acima do solo, com uma velocidade inicial de 42 m/s. A gente vai precisar usar conceitos de Cinemática, especificamente sobre movimento uniformemente variado (MUV) onde a aceleração é a gravidade, que nesse caso é $ g = 10 , m/s² $. Vamos resolver as três partes: tempo de subida, altura máxima e tempo para atingir o solo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o tempo que a partícula leva para parar de subir, ou seja, o tempo de subida. Quando a partícula atinge o ponto mais alto, sua velocidade final é zero. A equação que liga a velocidade final ($ v v v_0 v0 çã a a t $) é:
t
Aqui, $ v = 0 $, $ v_0 = 42 , m/s $ (para cima, positivo), e $ a = -10 , m/s² $ (a aceleração da gravidade é para baixo, então negativa).
Substituindo na equação:
v = v0 + a cdot t
Resolvendo para $ t $:
v = 0

Passo 3

Agora, vamos determinar a altura máxima que a partícula atinge em relação ao solo. Para isso, vamos calcular a distância que a partícula percorre durante a subida e somar com os 80 metros iniciais. A fórmula para a distância ($ s $) quando temos velocidade inicial, tempo e aceleração é:
s
Usando $ v_0 = 42 , m/s $, $ t = 4,2 , s $ e $ a = -10 , m/s² $:
s = v0 cdot t + 12 cdot a cdot t^2
Essa é a distância que a partícula sobe a partir do ponto de lançamento. Para achar a altura máxima em relação ao solo:
v0 = 42 , m/s á

Passo 4

Por fim, vamos calcular o tempo total que a partícula leva para atingir o solo. Isso inclui o tempo de subida e o tempo de descida a partir da altura máxima. Para isso, podemos usar a equação da posição em função do tempo:
s = s0 + v0 cdot t + 12 cdot a cdot t^2
Nesse caso, queremos que a posição final seja 0 (quando atinge o solo). $ s_0 = 80 , m $, $ v_0 = 42 , m/s $, $ a = -10 , m/s² $. Então:
s0 = 80 , m
Rearranjando:
v0 = 42 , m/s
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
a = -10 , m/s²
Como o tempo não pode ser negativo, consideramos apenas a solução positiva:
0 = 80 + 42t - 5t^2

Resposta

a) O tempo de subida é de 4,2 segundos;
b) A altura máxima atingida em relação ao solo é de 168,2 metros;
c) O tempo gasto para atingir o solo é de 10 segundos.

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