($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(b) e .

Passo 1

Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço de probabilidade com quatro elementos: . A -álgebra é o conjunto de todas as partes de , ou seja, todos os subconjuntos possíveis. A função atribui probabilidades a esses subconjuntos, e a gente sabe que para qualquer subconjunto não vazio de .
O exercício quer saber se a atribuição de probabilidades dada em (b) é possível sem quebrar os axiomas de Kolmogorov, que são as regras básicas para qualquer probabilidade. Vamos precisar lembrar desses axiomas para resolver.

Passo 2

Axiomas de Kolmogorov:
  1. Não negatividade: Para todo evento , .
  2. Normalização: .
  3. Aditividade: Para eventos mutuamente exclusivos e , .
Vamos aplicar esses axiomas para ver se a situação dada em (b) faz sentido.

Passo 3

Na situação (b), temos:
Primeiro, vamos lembrar que é um evento que inclui tanto quanto , e é apenas o evento .

Passo 4

Segundo o axioma de adição, se os eventos não se sobrepõem, podemos somar suas probabilidades. Aqui, e são eventos mutuamente exclusivos, então:
Isso significa que a probabilidade de , ou acontecer é 1.

Passo 5

Agora, vamos considerar todo o espaço amostral . A probabilidade total deve ser 1, conforme o axioma de normalização. Já vimos que .
Então, quanto resta para ?

Passo 6

Mas espere! O enunciado diz que para todo subconjunto não vazio . Aqui, , o que contradiz essa condição.

Resposta

A situação descrita em (b) não é possível, pois resulta em , violando a condição de que para todo subconjunto não vazio .

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4.
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(d) e .
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(f) e