($ pontos) Considere um espaço de probabilidade
tal que o espaço amostral é
, a
-álgebra de eventos é
o conjunto das partes de
e
é uma probabilidade tal que
para todo subconjunto nảo vazio
de
. Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis (
não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis (
contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço de probabilidade com quatro elementos:
. A
-álgebra é o conjunto de todas as partes de
, ou seja, todos os subconjuntos possíveis. A função
atribui probabilidades a esses subconjuntos, e a gente sabe que
para qualquer subconjunto não vazio
de
.
O exercício quer saber se a atribuição de probabilidades dada em (b) é possível sem quebrar os axiomas de Kolmogorov, que são as regras básicas para qualquer probabilidade. Vamos precisar lembrar desses axiomas para resolver.
Passo 2
Axiomas de Kolmogorov:
- Não negatividade: Para todo evento
, . - Normalização:
. - Aditividade: Para eventos mutuamente exclusivos
e , .
Vamos aplicar esses axiomas para ver se a situação dada em (b) faz sentido.
Passo 3
Na situação (b), temos:
Primeiro, vamos lembrar que
é um evento que inclui tanto
quanto
, e
é apenas o evento
.
Passo 4
Segundo o axioma de adição, se os eventos não se sobrepõem, podemos somar suas probabilidades. Aqui,
e
são eventos mutuamente exclusivos, então:
Isso significa que a probabilidade de
,
ou
acontecer é 1.
Passo 5
Agora, vamos considerar todo o espaço amostral
. A probabilidade total deve ser 1, conforme o axioma de normalização. Já vimos que
.
Então, quanto resta para
?
Passo 6
Mas espere! O enunciado diz que
para todo subconjunto não vazio
. Aqui,
, o que contradiz essa condição.
Resposta
A situação descrita em (b) não é possível, pois resulta em
, violando a condição de que
para todo subconjunto não vazio
.