(5,0 pontos)
Determine o campo aceleração para um escoamento tridimensional com as seguintes componentes de velocidade: u=-x, v=4 x^2 y^2 e w=x-y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para determinar o campo aceleração de um escoamento tridimensional. As componentes de velocidade dadas são:
u = -x, v = 4x^2y^2, w = x - y
Vamos precisar usar a teoria do campo de aceleração em fluidos, que envolve calcular a derivada material da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo aceleração a é dado por:
a = partial Vpartial t + (V cdot nabla)V
Como não há dependência do tempo nas componentes de velocidade, a primeira parte da equação desaparece. Então, temos:
a = (V cdot nabla)V
Isso significa que precisamos calcular a derivada direcional da velocidade ao longo de si mesma.

Passo 3

Vamos calcular cada componente da aceleração:

Aceleração na direção x ( au):

au = u partial upartial x + v partial upartial y + w partial upartial z
Calculando as derivadas:
partial upartial x = -1, partial upartial y = 0, partial upartial z = 0
Então:
au = (-x)(-1) + (4x^2y^2)(0) + (x - y)(0) = x

Aceleração na direção y ( av):

av = u partial vpartial x + v partial vpartial y + w partial vpartial z
Calculando as derivadas:
partial vpartial x = 8xy^2, partial vpartial y = 8x^2y, partial vpartial z = 0
Então:
av = (-x)(8xy^2) + (4x^2y^2)(8x^2y) + (x - y)(0) = -8x^2y^2 + 32x^4y^3

Aceleração na direção z ( aw):

aw = u partial wpartial x + v partial wpartial y + w partial wpartial z
Calculando as derivadas:
partial wpartial x = 1, partial wpartial y = -1, partial wpartial z = 0
Então:
aw = (-x)(1) + (4x^2y^2)(-1) + (x - y)(0) = -x - 4x^2y^2

Resposta

O campo aceleração é dado por:
a = ( x, -8x^2y^2 + 32x^4y^3, -x - 4x^2y^2 )

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