(2 pontos) A energia potencial de um corpo restrito ao eixo x é dada por U(x)=4 x^2-2 x^3, onde U está em joules e x está em metros. (a) Determine a força F(x) associada a esta função energia potencial. (b) Supondo que não haja outras forças atuando sobre o corpo, em que posições o corpo está em equilíbrio? © Quais destas posições de equilíbrio são estáveis e quais são instáveis? Obs.: Veja as derivadas de U(x) e lembre das aulas de cálculo.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que trata de energia potencial e suas relações com força e equilíbrio. A matéria envolvida é Cálculo, especialmente derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas da função de energia potencial e analisar as posições de equilíbrio e sua estabilidade.

Passo 2

(a) Determinando a força F(x) = -dUdx associada à energia potencial dUdx = ddx(4x^2 - 2x^3) = 8x - 6x^2 :
A força está relacionada à energia potencial pela relação:
F(x) = - (8x - 6x^2) = 6x^2 - 8x
Vamos calcular a derivada de :
Então, a força é:

Passo 3

(b) Determinando as posições de equilíbrio:
Em equilíbrio, a força resultante é zero:
F(x) = 6x^2 - 8x = 0
Fatorando a equação:
x(6x - 8) = 0
Portanto, as posições de equilíbrio são:
x = 0 e x = 86 = 43 metros

Passo 4

© Analisando a estabilidade das posições de equilíbrio:
Para verificar se as posições de equilíbrio são estáveis ou instáveis, analisamos a segunda derivada da energia potencial:
d^2Udx^2 = ddx(8x - 6x^2) = 8 - 12x
Avaliar em cada ponto de equilíbrio:
  • Para d^2Udx^2 = 8 - 12(0) = 8 > 0 Rightarrow Estável :
d^2Udx^2 = 8 - 12(43) = 8 - 16 = -8 < 0 Rightarrow Instável á
  • Para :
á

Resposta

(a)  J/m.
(b) As posições de equilíbrio são metros e metros.
© A posição metros é estável e metros é instável.

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