(1.5 pontos) A posição de um corpo em movimento vaira no tempo segundo a equaçāo
onde as distāncias são medidas em metros e tempo em segundos.
a)Calcule a velocidade e a aceleração nos instantes
e o seus respectivos módulos.
b) Calcule o módulo do deslocamento entre os instantes
e
.
a)Calcule a velocidade e a aceleração nos instantes
b) Calcule o módulo do deslocamento entre os instantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento vetorial. A gente tem a posição de um corpo em função do tempo dada pela equação:
A matéria que vamos precisar aqui é de Cinemática Vetorial, onde a gente trabalha com posição, velocidade e aceleração de objetos em movimento. Para resolver a parte (a), vamos precisar calcular a velocidade e a aceleração no instante $ t = 5 $ segundos, além dos seus módulos (tamanhos).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos $ r(t) $, a velocidade $ v(t) $ é:
Vamos então derivar cada componente de $ r(t) $:
-
Para a componente $ \mathbf{i} $:
-
Para a componente $ \mathbf{j} $:
-
Para a componente $ \mathbf{k} $:
Então, a velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente de $ v(t) $:
-
Para a componente $ \mathbf{i} $:
-
Para a componente $ \mathbf{j} $:
-
Para a componente $ \mathbf{k} $:
Então, a aceleração é:
Passo 4
Vamos agora calcular a velocidade e a aceleração no instante $ t = 5 $ segundos substituindo $ t $ nas equações que encontramos.
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Como a aceleração $ a(t) $ não depende de $ t $, ela é constante:
Passo 5
Agora, vamos calcular os módulos (tamanhos) da velocidade e da aceleração no instante $ t = 5 $ segundos. O módulo de um vetor $ \mathbf{A} = A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k} $ é dado por:
Para a velocidade $ v(5) $:
Para a aceleração $ a(5) $:
Como a aceleração não tem componente $ \mathbf{k} $:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b) do exercício, que pede o módulo do deslocamento entre os instantes $ t = 1 $ e $ t = 5 $ segundos.
Primeiro, o deslocamento vetorial $ \Delta r $ é dado pela diferença das posições nos dois instantes:
Vamos calcular $ r(5) $ e $ r(1) $.
Para $ r(5) $:
Para $ r(1) $:
Então, o deslocamento é:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular o módulo do deslocamento $ |\Delta r| $:
Resposta
a) No instante $ t = 5 $ s, a velocidade é $ \mathbf{v}(5) = 35 \mathbf{i} - 50 \mathbf{j} + 20 \mathbf{k} $ m/s com módulo aproximado de 64,24 m/s. A aceleração é $ \mathbf{a}(5) = 6 \mathbf{i} - 10 \mathbf{j} $ m/s² com módulo aproximado de 11,66 m/s².
b) O módulo do deslocamento entre $ t = 1 $ s e $ t = 5 $ s é aproximadamente 170,89 metros.