(1.5 pontos) A posição de um corpo em movimento vaira no tempo segundo a equaçāo r(t)=(10+5 t+3 t^2) i-5 t^2 j+20 t k onde as distāncias são medidas em metros e tempo em segundos.
a)Calcule a velocidade e a aceleração nos instantes t=5 s e o seus respectivos módulos.
b) Calcule o módulo do deslocamento entre os instantes t=1 e t=5 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento vetorial. A gente tem a posição de um corpo em função do tempo dada pela equação:
r(t) = (10 + 5t + 3t^2) i - 5t^2 j + 20t k
A matéria que vamos precisar aqui é de Cinemática Vetorial, onde a gente trabalha com posição, velocidade e aceleração de objetos em movimento. Para resolver a parte (a), vamos precisar calcular a velocidade e a aceleração no instante $ t = 5 $ segundos, além dos seus módulos (tamanhos).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se temos $ r(t) $, a velocidade $ v(t) $ é:
r(t)
Vamos então derivar cada componente de $ r(t) $:
  • Para a componente $ \mathbf{i} $:
    v(t)
  • Para a componente $ \mathbf{j} $:
    v(t) = dr(t)dt
  • Para a componente $ \mathbf{k} $:
    r(t)
Então, a velocidade é:
i

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a(t) = dv(t)dt
Derivando cada componente de $ v(t) $:
  • Para a componente $ \mathbf{i} $:
    v(t)
  • Para a componente $ \mathbf{j} $:
    i
  • Para a componente $ \mathbf{k} $:
    ddt(5 + 6t) = 6
Então, a aceleração é:
j

Passo 4

Vamos agora calcular a velocidade e a aceleração no instante $ t = 5 $ segundos substituindo $ t $ nas equações que encontramos.
Para a velocidade:
t = 5
Para a aceleração:
Como a aceleração $ a(t) $ não depende de $ t $, ela é constante:
t

Passo 5

Agora, vamos calcular os módulos (tamanhos) da velocidade e da aceleração no instante $ t = 5 $ segundos. O módulo de um vetor $ \mathbf{A} = A_x \mathbf{i} + A_y \mathbf{j} + A_z \mathbf{k} $ é dado por:
t = 5
Para a velocidade $ v(5) $:
A = Ax i + Ay j + Az k
Para a aceleração $ a(5) $:
Como a aceleração não tem componente $ \mathbf{k} $:
|A| = raizAx^2 + Ay^2 + Az^2

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício, que pede o módulo do deslocamento entre os instantes $ t = 1 $ e $ t = 5 $ segundos.
Primeiro, o deslocamento vetorial $ \Delta r $ é dado pela diferença das posições nos dois instantes:
t = 1
Vamos calcular $ r(5) $ e $ r(1) $.
Para $ r(5) $:
t = 5
Para $ r(1) $:
De
Então, o deslocamento é:
De

Passo 7

Finalmente, vamos calcular o módulo do deslocamento $ |\Delta r| $:
|De

Resposta

a) No instante $ t = 5 $ s, a velocidade é $ \mathbf{v}(5) = 35 \mathbf{i} - 50 \mathbf{j} + 20 \mathbf{k} $ m/s com módulo aproximado de 64,24 m/s. A aceleração é $ \mathbf{a}(5) = 6 \mathbf{i} - 10 \mathbf{j} $ m/s² com módulo aproximado de 11,66 m/s².
b) O módulo do deslocamento entre $ t = 1 $ s e $ t = 5 $ s é aproximadamente 170,89 metros.

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