( 2.5 pontos) Um jogador de futebol chuta uma bola do topo de uma colina de 25 metros de altura, com uma velocidade de 72 km / h a um ângulo de 30 circ com a horizontal. Considere g=10 m / s^2
0,6
a) (1.3 ponto) Quanto tempo a bola leva para atingir o solo?
b) ( 0.6 ponto) Qual o alcance horizontal da bola?
c) ( 0.6 ponto) Com que velocidade a bola atinge o solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de cinemática, que é parte da física que estuda o movimento dos objetos. A gente vai resolver três partes: quanto tempo a bola leva para cair, qual a distância que ela percorre horizontalmente e com que velocidade ela atinge o chão. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de movimento de projéteis e converter unidades quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a velocidade de quilômetros por hora para metros por segundo, porque nossas outras medidas estão em metros e segundos. A velocidade inicial $ v_0 $ é 72 km/h.
v0

Passo 3

Agora, vamos decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal ($ v_{0x} v0x v_{0y} $) usando o ângulo de 30 graus.
v0y
v0x = v0 cos(theta) = 20 , m/s times cos(30^circ) approx 17,32 , m/s

Passo 4

Para descobrir quanto tempo a bola leva para atingir o solo, vamos analisar o movimento vertical. A posição vertical $ y $ da bola é dada por:
y
Onde:
  • $ y_0 = 25 , m $ (altura da colina)
  • $ g = 10 , m/s^2 $
  • $ y = 0 $ quando a bola atinge o solo
Então:
y = y0 + v0y t - 12 g t^2
Rearranjando:
y0 = 25 , m

Passo 5

Resolvendo essa equação quadrática para $ t $:
t
t = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 times 5 times (-25)2 times 5
t = 10 pm raiz100 + 50010
t = 10 pm raiz60010
Como o tempo não pode ser negativo:
t = 10 pm 24,4910

Passo 6

Agora, para o alcance horizontal, usamos a componente horizontal da velocidade e o tempo total de voo.
Alcance = v0x times t
Alcance = 17,32 , m/s times 3,45 , s approx 59,65 , m

Passo 7

Por fim, para encontrar a velocidade com que a bola atinge o solo, precisamos considerar tanto a componente horizontal quanto a vertical da velocidade no momento do impacto.
A componente horizontal $ v_x $ permanece constante:
vx
A componente vertical no impacto $ v_y $ é:
vx = 17,32 , m/s
O sinal negativo indica que a direção é para baixo.
A velocidade resultante $ v $ é:
vy

Resposta

a) O tempo que a bola leva para atingir o solo é aproximadamente 3,45 segundos.
b) O alcance horizontal da bola é aproximadamente 59,65 metros.
c) A velocidade com que a bola atinge o solo é aproximadamente 30 m/s.

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