( 2.5 pontos) Um jogador de futebol chuta uma bola do topo de uma colina de 25 metros de altura, com uma velocidade de
a um ângulo de
a horizontal. Considere
0,6
a) (1.3 ponto) Quanto tempo a bola leva para atingir o solo?
b) ( 0.6 ponto) Qual o alcance horizontal da bola?
c) ( 0.6 ponto) Com que velocidade a bola atinge o solo?
0,6
a) (1.3 ponto) Quanto tempo a bola leva para atingir o solo?
b) ( 0.6 ponto) Qual o alcance horizontal da bola?
c) ( 0.6 ponto) Com que velocidade a bola atinge o solo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de cinemática, que é parte da física que estuda o movimento dos objetos. A gente vai resolver três partes: quanto tempo a bola leva para cair, qual a distância que ela percorre horizontalmente e com que velocidade ela atinge o chão. Para isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de movimento de projéteis e converter unidades quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a velocidade de quilômetros por hora para metros por segundo, porque nossas outras medidas estão em metros e segundos. A velocidade inicial $ v_0 $ é 72 km/h.
Passo 3
Agora, vamos decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal ($ v_{0x}
v_{0y} $) usando o ângulo de 30 graus.
Passo 4
Para descobrir quanto tempo a bola leva para atingir o solo, vamos analisar o movimento vertical. A posição vertical $ y $ da bola é dada por:
Onde:
- $ y_0 = 25 , m $ (altura da colina)
- $ g = 10 , m/s^2 $
- $ y = 0 $ quando a bola atinge o solo
Então:
Rearranjando:
Passo 5
Resolvendo essa equação quadrática para $ t $:
Como o tempo não pode ser negativo:
Passo 6
Agora, para o alcance horizontal, usamos a componente horizontal da velocidade e o tempo total de voo.
Passo 7
Por fim, para encontrar a velocidade com que a bola atinge o solo, precisamos considerar tanto a componente horizontal quanto a vertical da velocidade no momento do impacto.
A componente horizontal $ v_x $ permanece constante:
A componente vertical no impacto $ v_y $ é:
O sinal negativo indica que a direção é para baixo.
A velocidade resultante $ v $ é:
Resposta
a) O tempo que a bola leva para atingir o solo é aproximadamente 3,45 segundos.
b) O alcance horizontal da bola é aproximadamente 59,65 metros.
c) A velocidade com que a bola atinge o solo é aproximadamente 30 m/s.