A temperatura média numa cidade dos EUA é modelada por
F(t)=55+35 cdot sen(2 pi(t-90365))
Quando ocorre o dia mais frio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma fórmula que modela a temperatura média numa cidade dos EUA ao longo do ano. O conteúdo envolvido aqui é de funções trigonométricas aplicadas a fenômenos periódicos, como as variações de temperatura ao longo dos dias. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar o ponto mínimo dessa função, ou seja, quando ocorre o dia mais frio.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que nos foi dada:
F(t) = 55 + 35 cdot sen(2pi(t - 90365))
Aqui, F(t) representa a temperatura média no dia t. A função seno ( sen) faz com que a temperatura varie ao longo do ano de forma periódica.

Passo 3

Sabemos que a função seno varia entre -1 e 1. Isso significa que o termo 35 cdot sen(ldots) vai variar entre -35 e 35. Portanto, a temperatura F(t) oscilará entre:
  • Mínima: 55 - 35 = 20 graus
  • Máxima: 55 + 35 = 90 graus
Nosso objetivo é encontrar quando a temperatura atinge seu valor mínimo, ou seja, quando sen(ldots) = -1.

Passo 4

Vamos igualar o argumento da função seno a -1 e resolver para t:
sen(2pi(t - 90365)) = -1
Sabemos que sen(theta) = -1 quando theta = 3pi2 + 2kpi, onde k é qualquer inteiro.

Passo 5

Igualando os argumentos:
2pi(t - 90365) = 3pi2 + 2kpi
Vamos resolver para t:
  1. Dividimos ambos os lados por 2pi:
t - 90365 = 34 + k
  1. Isolamos t:
t - 90 = 365(34 + k)
t = 90 + 273,75 + 365k
t = 363,75 + 365k

Passo 6

Considerando que t representa o dia do ano e que estamos procurando o primeiro dia em que isso ocorre ( k = 0):
t = 363,75
Arredondando para o dia inteiro mais próximo, temos t = 364.

Resposta

O dia mais frio ocorre no 364º dia do ano.

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