Uma população finita de 500 indivíduos apresenta um desvio padrão de 25 unidades. Deseja-se estimar a média com erro máximo de 10 unidades e nível de confiança de 95% (za/2=1,96). Pergunta: Qual o tamanho mínimo da amostra?
Conforme conteúdo teórico disponível nos slides e exemplos explicados

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre como determinar o tamanho mínimo de uma amostra para estimar a média de uma população. A gente sabe que a população é finita, tem 500 pessoas, o desvio padrão é 25 unidades, e queremos que nossa estimativa tenha no máximo 10 unidades de erro com 95% de confiança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especialmente de estimação de médias e cálculo do tamanho da amostra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula básica para calcular o tamanho da amostra ( n) quando queremos estimar uma média com um erro máximo ( E) e um nível de confiança ( Zalpha/2) conhecido. A fórmula é:
n = ( Zalpha/2 times sigmaE )^2
Onde:
  • Zalpha/2 é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • E é o erro máximo permitido.

Passo 3

Mas aí a gente lembra que essa fórmula assume que a população é infinita. Como a nossa população é finita (500 indivíduos), temos que ajustar a fórmula usando o fator de correção para populações finitas. A fórmula ajustada fica assim:
n = N times Zalpha/2^2 times sigma^2E^2 times (N - 1) + Zalpha/2^2 times sigma^2
Onde:
  • N é o tamanho da população finita (no caso, 500).

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula:
  • N = 500
  • sigma = 25
  • E = 10
  • Zalpha/2 = 1,96 (porque para 95% de confiança, esse é o valor z)
Substituindo na fórmula:
n = 500 times (1,96)^2 times (25)^210^2 times (500 - 1) + (1,96)^2 times (25)^2

Passo 5

Vamos calcular os componentes passo a passo para facilitar:
  1. Calculando Zalpha/2^2:
(1,96)^2 = 3,8416
  1. Calculando sigma^2:
(25)^2 = 625
Agora, substituindo de volta na fórmula:
n = 500 times 3,8416 times 625100 times 499 + 3,8416 times 625

Passo 6

Vamos resolver o numerador e o denominador separadamente:
  1. Numerador:
500 times 3,8416 times 625 = 1.200.500
  1. Denominador:
100 times 499 = 49.900
3,8416 times 625 = 2.401
49.900 + 2.401 = 52.301

Passo 7

Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador para encontrar n:
n = 1.200.50052.301 approx 22,96
Como não dá pra ter uma fração de pessoa na amostra, a gente arredonda pra cima:
n approx 23

Resposta

O tamanho mínimo da amostra necessário é de 23 indivíduos.

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