Uma população finita de 500 indivíduos apresenta um desvio padrão de 25 unidades. Deseja-se estimar a média com erro máximo de 10 unidades e nível de confiança de 95% (za/2=1,96). Pergunta: Qual o tamanho mínimo da amostra?
Conforme conteúdo teórico disponível nos slides e exemplos explicados
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre como determinar o tamanho mínimo de uma amostra para estimar a média de uma população. A gente sabe que a população é finita, tem 500 pessoas, o desvio padrão é 25 unidades, e queremos que nossa estimativa tenha no máximo 10 unidades de erro com 95% de confiança. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especialmente de estimação de médias e cálculo do tamanho da amostra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula básica para calcular o tamanho da amostra (
) quando queremos estimar uma média com um erro máximo (
) e um nível de confiança (
) conhecido. A fórmula é:
Onde:
-
é o valor z correspondente ao nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da população. -
é o erro máximo permitido.
Passo 3
Mas aí a gente lembra que essa fórmula assume que a população é infinita. Como a nossa população é finita (500 indivíduos), temos que ajustar a fórmula usando o fator de correção para populações finitas. A fórmula ajustada fica assim:
Onde:
-
é o tamanho da população finita (no caso, 500).
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula:
-
-
-
-
(porque para 95% de confiança, esse é o valor z)
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular os componentes passo a passo para facilitar:
- Calculando
:
- Calculando
:
Agora, substituindo de volta na fórmula:
Passo 6
Vamos resolver o numerador e o denominador separadamente:
- Numerador:
- Denominador:
Passo 7
Agora, vamos dividir o numerador pelo denominador para encontrar
:
Como não dá pra ter uma fração de pessoa na amostra, a gente arredonda pra cima:
Resposta
O tamanho mínimo da amostra necessário é de 23 indivíduos.