4- De uma população normal,com variança conhecida sigma 2=9, retiramos uma amostra de 20 observações e x=6,08.
Determine um intervalo de confiança com 90 % para a media populacional Interprete o resultado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um intervalo de confiança de 90% para a média de uma população que sabemos que é normal e tem variância conhecida, que nesse caso é sigma^2 = 9. Para isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, mais especificamente sobre o intervalo de confiança para a média quando a variância é conhecida. Vamos precisar da média da amostra, do tamanho da amostra, da variância conhecida e do valor crítico da distribuição normal correspondente a 90%.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Variância da população: sigma^2 = 9, então o desvio padrão sigma = raiz9 = 3.
  • Tamanho da amostra: n = 20.
  • Média da amostra: barx = 6,08.

Passo 3

Agora, vamos calcular o erro padrão da média, que é dado por:
Erro Padrão (EP) = sigmaraizn = 3raiz20 ã
Vamos calcular:
raiz20 approx 4,472, então EP approx 34,472 approx 0,67 ã

Passo 4

Precisamos encontrar o valor crítico z que corresponde a 90% de confiança. Isso significa que queremos que a área central da distribuição normal seja de 90%, deixando 5% em cada cauda. Consultando a tabela da distribuição normal, encontramos que z approx 1,645 para 90% de confiança.

Passo 5

Agora, vamos construir o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm z times EP
Substituindo os valores:
6,08 pm 1,645 times 0,67
Vamos calcular o produto:
1,645 times 0,67 approx 1,10

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo:
6,08 - 1,10 = 4,98,
6,08 + 1,10 = 7,18

Resposta

O intervalo de confiança de 90% para a média populacional é entre 4,98 e 7,18. Isso significa que estamos 90% confiantes de que a verdadeira média da população está dentro desse intervalo.

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