De uma população normal de variância 64 , recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 16. Qual a probabilidade da variância amostral exceder 78 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe envolve estatística, mais especificamente sobre variância em uma população normal. O que a gente precisa saber para resolver isso é como a variância amostral se comporta quando tiramos uma amostra de uma população normal. Vamos descobrir qual a chance da variância da nossa amostra ser maior que 78.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Variância da população (σ²): 64
  • Tamanho da amostra (n): 16
  • Valor que queremos comparar (78): Queremos saber a probabilidade da variância amostral ser maior que 78.

Passo 3

Quando trabalhamos com amostras de uma população normal, a variância amostral segue uma distribuição Qui-Quadrado (χ²). A fórmula para transformar a variância amostral em uma estatística que segue essa distribuição é:
chi^2 = (n - 1) cdot S^2sigma^2
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra,
  • $ S^2 $ é a variância amostral,
  • $ \sigma^2 $ é a variância da população.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
chi^2 = (16 - 1) cdot 7864 = 15 cdot 7864 = 117064 approx 18.28125
Então, queremos encontrar:
P(chi^2 > 18.28125)

Passo 5

Agora, precisamos saber qual é a probabilidade de uma variável Qui-Quadrado com 15 graus de liberdade ser maior que aproximadamente 18.28. Para isso, usamos tabelas de distribuição Qui-Quadrado ou calculadoras estatísticas.

Passo 6

Consultando uma tabela de distribuição Qui-Quadrado ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(chi^2 > 18.28) approx 0.10
Isso significa que há aproximadamente 10% de chance da variância amostral exceder 78.

Resposta

A probabilidade da variância amostral exceder 78 é aproximadamente 10%.

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