De uma população normal de variância 64 , recolheu-se uma amostra aleatória de dimensão 16. Qual a probabilidade da variância amostral exceder 78 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que você trouxe envolve estatística, mais especificamente sobre variância em uma população normal. O que a gente precisa saber para resolver isso é como a variância amostral se comporta quando tiramos uma amostra de uma população normal. Vamos descobrir qual a chance da variância da nossa amostra ser maior que 78.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados que temos:
- Variância da população (σ²): 64
- Tamanho da amostra (n): 16
- Valor que queremos comparar (78): Queremos saber a probabilidade da variância amostral ser maior que 78.
Passo 3
Quando trabalhamos com amostras de uma população normal, a variância amostral segue uma distribuição Qui-Quadrado (χ²). A fórmula para transformar a variância amostral em uma estatística que segue essa distribuição é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra,
- $ S^2 $ é a variância amostral,
- $ \sigma^2 $ é a variância da população.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Então, queremos encontrar:
Passo 5
Agora, precisamos saber qual é a probabilidade de uma variável Qui-Quadrado com 15 graus de liberdade ser maior que aproximadamente 18.28. Para isso, usamos tabelas de distribuição Qui-Quadrado ou calculadoras estatísticas.
Passo 6
Consultando uma tabela de distribuição Qui-Quadrado ou usando uma calculadora, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 10% de chance da variância amostral exceder 78.
Resposta
A probabilidade da variância amostral exceder 78 é aproximadamente 10%.