Seja X sim N(20,5). Determine a dimensão da amostra de modo que seja igual a 0.9 a probabilidade da média amostral se situar entre 18 e 22.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média 20 e variância 5, ou seja, $ X \sim N(20, 5) $. O objetivo é descobrir qual deve ser o tamanho da amostra $ n $ para que a probabilidade de a média dessa amostra estar entre 18 e 22 seja igual a 0,9 (ou 90%). Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de amostras e propriedades da distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, lembra que quando você pega uma amostra de tamanho $ n $ de uma distribuição normal, a média amostral $ \bar{X} $ também segue uma distribuição normal. A média dessa distribuição será igual à média da população, que é 20. A variância da média amostral é a variância da população dividida pelo tamanho da amostra, ou seja, $ \sigma^2_{\bar{X}} = \frac{5}{n} $. Portanto, $ \bar{X} \sim N\left(20, \frac{5}{n}\right) $.

Passo 3

Agora, queremos que a probabilidade de $ \bar{X} $ estar entre 18 e 22 seja 0,9. Em termos matemáticos, isso é:
barX
Podemos reescrever isso em termos de desvios em relação à média:
P(18 <= barX <= 22) = 0,9

Passo 4

Para resolver isso, vamos padronizar a variável $ \bar{X} $ usando a distribuição normal padrão $ Z $:
barX
Queremos que:
Z
Isso significa que estamos procurando os valores de $ z $ tais que a área central entre Z = barX - 20sigmabarX = barX - 20raiz5n e $ z $ seja 0,9.

Passo 5

Consultando uma tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, descobrimos que para uma probabilidade central de 0,9, o valor crítico de $ z $ é aproximadamente 1,645. Ou seja:
z

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ n $:
n
Primeiro, isolamos a raiz:
2 = 1,645 times raiz5n
Calculando o lado direito:
raiz5n = 21,645

Passo 7

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
5n = (1,216)^2 approx 1,48
Agora, isolamos $ n $:
n

Passo 8

Como o tamanho da amostra $ n $ precisa ser um número inteiro, arredondamos para o próximo número inteiro maior:
n

Resposta

O tamanho da amostra necessário é de 4.

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