A população de quilômetros dirigidas pelos caminhões da Peso Pesado exibe uma média de 13.700 km com desvio padrão de 3150. Se uma amostra de tamanho
motoristas é coletada, qual é a probabilidade de que a média:
c. Esteja entre 13.200 e 14.000 km ?
c. Esteja entre 13.200 e 14.000 km ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente sabe que os caminhões da Peso Pesado têm uma média de 13.700 km rodados e um desvio padrão de 3.150 km. A gente pegou uma amostra com 100 motoristas e queremos saber qual a probabilidade da média dessa amostra estar entre 13.200 km e 14.000 km. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Amostral da Média e o Teorema Central do Limite.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema Central do Limite. Ele diz que, se a gente tiver uma amostra grande (como essa de 100 motoristas), a distribuição das médias das amostras vai ser aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja. Essa distribuição normal vai ter média igual à média da população (μ = 13.700 km) e um desvio padrão chamado Erro Padrão (EP), que a gente calcula usando a fórmula:
Passo 3
Vamos calcular o Erro Padrão (EP):
Então, o erro padrão é 315 km.
Passo 4
Agora, queremos achar a probabilidade de que a média esteja entre 13.200 km e 14.000 km. Para isso, vamos transformar esses valores em escores z, que representam quantos desvios padrão cada valor está da média. A fórmula do z é:
Para 13.200 km:
Para 14.000 km:
Passo 5
Com os valores de z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes.
- Para $ z_1 \approx -1,587 $: A probabilidade acumulada até esse z é aproximadamente 0,0560 (ou 5,60%).
- Para $ z_2 \approx 0,952 $: A probabilidade acumulada até esse z é aproximadamente 0,8292 (ou 82,92%).
Passo 6
Para encontrar a probabilidade da média estar entre 13.200 km e 14.000 km, subtraímos a menor probabilidade da maior:
Resposta
A probabilidade de que a média esteja entre 13.200 km e 14.000 km é de aproximadamente 77,3%.