A população de quilômetros dirigidas pelos caminhões da Peso Pesado exibe uma média de 13.700 km com desvio padrão de 3150. Se uma amostra de tamanho n=100 motoristas é coletada, qual é a probabilidade de que a média:
c. Esteja entre 13.200 e 14.000 km ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente sabe que os caminhões da Peso Pesado têm uma média de 13.700 km rodados e um desvio padrão de 3.150 km. A gente pegou uma amostra com 100 motoristas e queremos saber qual a probabilidade da média dessa amostra estar entre 13.200 km e 14.000 km. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Amostral da Média e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema Central do Limite. Ele diz que, se a gente tiver uma amostra grande (como essa de 100 motoristas), a distribuição das médias das amostras vai ser aproximadamente normal, mesmo que a distribuição original não seja. Essa distribuição normal vai ter média igual à média da população (μ = 13.700 km) e um desvio padrão chamado Erro Padrão (EP), que a gente calcula usando a fórmula:
EP = sigmaraizn

Passo 3

Vamos calcular o Erro Padrão (EP):
EP = 3150raiz100 = 315010 = 315
Então, o erro padrão é 315 km.

Passo 4

Agora, queremos achar a probabilidade de que a média esteja entre 13.200 km e 14.000 km. Para isso, vamos transformar esses valores em escores z, que representam quantos desvios padrão cada valor está da média. A fórmula do z é:
z = X - muEP
Para 13.200 km:
z1 = 13200 - 13700315 = -500315 approx -1,587
Para 14.000 km:
z2 = 14000 - 13700315 = 300315 approx 0,952

Passo 5

Com os valores de z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal para encontrar as probabilidades correspondentes.
  • Para $ z_1 \approx -1,587 $: A probabilidade acumulada até esse z é aproximadamente 0,0560 (ou 5,60%).
  • Para $ z_2 \approx 0,952 $: A probabilidade acumulada até esse z é aproximadamente 0,8292 (ou 82,92%).

Passo 6

Para encontrar a probabilidade da média estar entre 13.200 km e 14.000 km, subtraímos a menor probabilidade da maior:
P(13200 <= barX <= 14000) = P(z <= 0,952) - P(z <= -1,587) = 0,8292 - 0,0560 = 0,7732

Resposta

A probabilidade de que a média esteja entre 13.200 km e 14.000 km é de aproximadamente 77,3%.

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