A população de quilômetros dirigidas pelos caminhões da Peso Pesado exibe uma média de 13.700 km com desvio padrão de 3150. Se uma amostra de tamanho n=100 motoristas é coletada, qual é a probabilidade de que a média:
d. Esteja entre 13.100 e 13.500 km ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que a média de quilômetros dirigidos pelos caminhões da Peso Pesado é de 13.700 km com um desvio padrão de 3.150 km. Queremos descobrir a probabilidade de que, em uma amostra de 100 motoristas, a média dos quilômetros dirigidos esteja entre 13.100 km e 13.500 km. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Amostral da Média e o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o erro padrão da média, que mostra o quanto a média das amostras pode variar em relação à média da população. A fórmula para isso é:
sigmabarx = sigmaraizn
Onde:
  • sigma é o desvio padrão da população (3.150 km).
  • n é o tamanho da amostra (100 motoristas).
Vamos calcular:
sigmabarx = 3150raiz100 = 315010 = 315
Então, o erro padrão da média é 315 km.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de a média estar entre 13.100 km e 13.500 km. Para isso, vamos converter esses valores em escores z usando a seguinte fórmula:
z = barx - musigmabarx
Onde:
  • barx é a média da amostra.
  • mu é a média da população (13.700 km).
  • sigmabarx é o erro padrão da média (315 km).
Vamos calcular os dois z:
Para 13.100 km:
z1 = 13100 - 13700315 = -600315 approx -1,90
Para 13.500 km:
z2 = 13500 - 13700315 = -200315 approx -0,63

Passo 4

Com os escores z calculados, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão para encontrar as probabilidades correspondentes a cada z.
  • Para z1 = -1,90: A probabilidade é aproximadamente 0,0287 (ou 2,87%).
  • Para z2 = -0,63: A probabilidade é aproximadamente 0,2643 (ou 26,43%).

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de a média estar entre 13.100 km e 13.500 km, vamos subtrair as duas probabilidades:
P(-1,90 < z < -0,63) = P(z < -0,63) - P(z < -1,90) = 0,2643 - 0,0287 = 0,2356
Então, a probabilidade é de 23,56%.

Resposta

A probabilidade de que a média dos quilômetros dirigidos esteja entre 13.100 km e 13.500 km é de aproximadamente 23,56%.

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