Um relatório revelou que alunos do ensino médio assistem, em média, 37,2 horas de TV por semana. Assuma um desvio padrão de 5,4 horas. Em uma amostra de n=500 estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral seja:
a. Maior de 38 horas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de estatística aqui. A questão fala sobre o tempo que alunos do ensino médio assistem TV por semana. A média desse tempo é de 37,2 horas com um desvio padrão de 5,4 horas. A gente pegou uma amostra de 500 estudantes e queremos saber qual a probabilidade da média dessa amostra ser maior que 38 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e teoria do erro padrão.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a média amostral. Quando tiramos uma amostra grande, como 500 estudantes, a média das horas assistidas tende a se aproximar da média da população, que aqui é 37,2 horas. Mas como a amostra pode variar, usamos o desvio padrão para medir essa variação.

Passo 3

O próximo passo é calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos diz o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula para o erro padrão ($ \sigma_{\bar{x}} $) é:
sigmabarx
Onde:
  • $ \sigma $ é o desvio padrão da população (5,4 horas).
  • $ n $ é o tamanho da amostra (500 estudantes).
Então, vamos calcular:
sigmabarx = sigmaraizn

Passo 4

Agora, queremos saber a probabilidade de a média amostral ser maior que 38 horas. Para isso, vamos converter essa média para um valor de z utilizando a fórmula:
z = barx - musigmabarx
Onde:
  • $ \bar{x} $ é a média amostral (38 horas).
  • $ \mu $ é a média da população (37,2 horas).
  • $ \sigma_{\bar{x}} $ é o erro padrão que calculamos (0,241).
Substituindo os valores:
barx

Passo 5

Com o valor de z calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a $ z > 3,32 $ na distribuição normal padrão. Usando tabelas de distribuição normal ou uma calculadora, vemos que a probabilidade de z ser maior que 3,32 é muito pequena.
Consultando a tabela, encontramos que:
z > 3,32
Isso significa que há aproximadamente 0,045% de chance da média amostral ser maior que 38 horas.

Resposta

A probabilidade de que a média amostral seja maior que 38 horas é aproximadamente 0,045%.

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