Um relatório revelou que alunos do ensino médio assistem, em média, 37,2 horas de TV por semana. Assuma um desvio padrão de 5,4 horas. Em uma amostra de
estudantes, qual a probabilidade de que a média amostral seja:
a. Maior de 38 horas?
a. Maior de 38 horas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema de estatística aqui. A questão fala sobre o tempo que alunos do ensino médio assistem TV por semana. A média desse tempo é de 37,2 horas com um desvio padrão de 5,4 horas. A gente pegou uma amostra de 500 estudantes e queremos saber qual a probabilidade da média dessa amostra ser maior que 38 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e teoria do erro padrão.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a média amostral. Quando tiramos uma amostra grande, como 500 estudantes, a média das horas assistidas tende a se aproximar da média da população, que aqui é 37,2 horas. Mas como a amostra pode variar, usamos o desvio padrão para medir essa variação.
Passo 3
O próximo passo é calcular o erro padrão da média. O erro padrão nos diz o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula para o erro padrão ($ \sigma_{\bar{x}} $) é:
Onde:
- $ \sigma $ é o desvio padrão da população (5,4 horas).
- $ n $ é o tamanho da amostra (500 estudantes).
Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora, queremos saber a probabilidade de a média amostral ser maior que 38 horas. Para isso, vamos converter essa média para um valor de z utilizando a fórmula:
Onde:
- $ \bar{x} $ é a média amostral (38 horas).
- $ \mu $ é a média da população (37,2 horas).
- $ \sigma_{\bar{x}} $ é o erro padrão que calculamos (0,241).
Substituindo os valores:
Passo 5
Com o valor de z calculado, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a $ z > 3,32 $ na distribuição normal padrão. Usando tabelas de distribuição normal ou uma calculadora, vemos que a probabilidade de z ser maior que 3,32 é muito pequena.
Consultando a tabela, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 0,045% de chance da média amostral ser maior que 38 horas.
Resposta
A probabilidade de que a média amostral seja maior que 38 horas é aproximadamente 0,045%.