Na porta de um supermercado foi realizada uma enquete com 100 pessoas sobre três produtos. As respostas foram: 10 pessoas compram somente o produto A, 30 pessoas compram somente o produto B, 15 pessoas compram somente o produto C, 8 pessoas compram A e B, 5 pessoas compram A e C, 6 pessoas compram B e C, e 4 compram os três produtos.
Quantas pessoas compram os produtos A ou B?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma pesquisa feita na porta de um supermercado com 100 pessoas, perguntando sobre as compras de três produtos: A, B e C. A gente quer descobrir quantas pessoas compraram o produto A ou o B. Para resolver isso, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão, que nos ajuda a contar corretamente quando tem sobreposição nas categorias.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as informações que a gente tem sobre as compras:
  • 10 pessoas compram somente o produto A
  • 30 pessoas compram somente o produto B
  • 15 pessoas compram somente o produto C
  • 8 pessoas compram A e B
  • 5 pessoas compram A e C
  • 6 pessoas compram B e C
  • 4 pessoas compram os três produtos (A, B e C)

Passo 3

Queremos saber quantas pessoas compraram A ou B. No universo da matemática, isso é representado pela união dos conjuntos A e B, ou seja, $ A \cup B $.
Pelo princípio da inclusão-exclusão, a quantidade de pessoas que compram A ou B é:
A cup B
Onde:
  • $ |A| $ é o número de pessoas que compram A
  • $ |B| $ é o número de pessoas que compram B
  • $ |A \cap B| $ é o número de pessoas que compram A e B ao mesmo tempo

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  1. Total que compram A: inclui quem compra somente A, quem compra A e B, quem compra A e C, e quem compra os três.
|A| = 10 + 8 + 5 + 4 = 27
  1. Total que compram B: inclui quem compra somente B, quem compra A e B, quem compra B e C, e quem compra os três.
|B| = 30 + 8 + 6 + 4 = 48
  1. Total que compram A e B: inclui quem compra A e B, e quem compra os três.
|A cap B| = 8 + 4 = 12

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula:
|A cup B| = |A| + |B| - |A cap B| = 27 + 48 - 12 = 63

Resposta

Então, 63 pessoas compraram o produto A ou o B.

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