A posição angular de uma partícula que se move ao longo de uma circunferência com raio de 5 pés é dada pela expressão
, onde
é dado em radianos e
em segundos. Calcular as acelerações tangencial, normal e total da partícula no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as acelerações tangencial, normal e total de uma partícula que se move em uma circunferência de raio 5 pés. A posição angular dela é dada por
, onde
está em radianos e
em segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento circular, como derivadas para encontrar velocidades e acelerações angulares, além das fórmulas para aceleração tangencial e centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular
. Sabemos que
é a derivada da posição angular
em relação ao tempo
:
Dado que
, derivamos em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração angular
, que é a derivada da velocidade angular
em relação ao tempo:
Derivando
:
Passo 4
Com a aceleração angular
encontrada, podemos calcular a aceleração tangencial
. A aceleração tangencial está relacionada à aceleração angular pela fórmula:
Onde
é o raio da circunferência, que é 5 pés:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a velocidade tangencial
da partícula, que está relacionada à velocidade angular
pela fórmula:
Usando
e
pés:
Passo 6
Agora, vamos determinar a aceleração normal
, também conhecida como aceleração centrípeta. Ela é dada por:
Substituindo
e
pés:
Passo 7
Finalmente, para encontrar a aceleração total
da partícula, usamos o teorema de Pitágoras, já que as acelerações tangencial e normal são perpendiculares:
Substituindo
ft/s² e
:
Resposta
No instante
:
- Aceleração tangencial:
- Aceleração normal:
- Aceleração total: