Um volante com um raio de 4 m gira em tôrno de um eixo horizontal por meio de uma corda, enrolada à sua periferia, que tem, na sua extremidade livre, um pêso. Uma vez que a distância vertical percorrida pelo pêso é dada pela equação x=40 t^2, onde x é medido em metros e t em segundos, calcular a velocidade e a aceleração do volante num instante qualquer.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um volante com raio de 4 metros que gira graças a uma corda enrolada na sua borda. Nessa corda, tem um peso que desce, e a distância que esse peso desce ao longo do tempo é dada pela equação $ x = 40 t^{2} $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade e a aceleração do volante em qualquer instante de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a equação $ x = 40 t^{2} $ nos diz. Essa equação descreve a posição do peso em função do tempo. Para encontrar a velocidade e a aceleração, precisamos derivar essa equação em relação ao tempo.

Passo 3

Calculando a Velocidade:
A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, é a primeira derivada de $ x $ em relação a $ t $.
x
Então, a velocidade do peso é $ 80 t $ metros por segundo.

Passo 4

Calculando a Aceleração:
A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. É a segunda derivada de $ x $ em relação a $ t $.
x
Portanto, a aceleração do peso é constante e igual a $ 80 $ metros por segundo ao quadrado.

Passo 5

Agora, precisamos relacionar a velocidade e a aceleração do peso com a velocidade angular e a aceleração angular do volante.
Sabemos que a velocidade linear ($ v v áà \omega $) pela fórmula:
omega
Onde $ r $ é o raio do volante.
Calculando a Velocidade Angular ($ \omega $):
v = r omega
Calculando a Aceleração Angular ($ \alpha $):
A aceleração linear ($ a r áàçã \alpha $) por:
omega
Rearranjando para encontrar $ \alpha $:
omega(t) = v(t)r = 80 t4 = 20 t (rad/s)

Resposta

A velocidade do volante em qualquer instante $ t $ é $ 20, t $ rad/s e a aceleração do volante é $ 20 $ rad/s².

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