Um volante com um raio de 4 m gira em tôrno de um eixo horizontal por meio de uma corda, enrolada à sua periferia, que tem, na sua extremidade livre, um pêso. Uma vez que a distância vertical percorrida pelo pêso é dada pela equação
, onde
é medido em metros e
em segundos, calcular a velocidade e a aceleração do volante num instante qualquer.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um volante com raio de 4 metros que gira graças a uma corda enrolada na sua borda. Nessa corda, tem um peso que desce, e a distância que esse peso desce ao longo do tempo é dada pela equação $ x = 40 t^{2} $, onde $ x $ está em metros e $ t $ em segundos. Nosso objetivo aqui é calcular a velocidade e a aceleração do volante em qualquer instante de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a equação $ x = 40 t^{2} $ nos diz. Essa equação descreve a posição do peso em função do tempo. Para encontrar a velocidade e a aceleração, precisamos derivar essa equação em relação ao tempo.
Passo 3
Calculando a Velocidade:
A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Matematicamente, é a primeira derivada de $ x $ em relação a $ t $.
Então, a velocidade do peso é $ 80 t $ metros por segundo.
Passo 4
Calculando a Aceleração:
A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. É a segunda derivada de $ x $ em relação a $ t $.
Portanto, a aceleração do peso é constante e igual a $ 80 $ metros por segundo ao quadrado.
Passo 5
Agora, precisamos relacionar a velocidade e a aceleração do peso com a velocidade angular e a aceleração angular do volante.
Sabemos que a velocidade linear ($ v
\omega $) pela fórmula:
Onde $ r $ é o raio do volante.
Calculando a Velocidade Angular ($ \omega $):
Calculando a Aceleração Angular ($ \alpha $):
A aceleração linear ($ a
\alpha $) por:
Rearranjando para encontrar $ \alpha $:
Resposta
A velocidade do volante em qualquer instante $ t $ é $ 20, t $ rad/s e a aceleração do volante é $ 20 $ rad/s².