A posição de um elétron é dada por r = 3,00t i - 4,00t^2 j + 2,00k, com t em segundos e r em metros.
(a) Qual é a velocidade do elétron v(t)? Em t = 2,00 s, quanto vale v
(b) na notação de vetor unitário e como
© um módulo e
(d) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x?
(a) Qual é a velocidade do elétron v(t)? Em t = 2,00 s, quanto vale v
(b) na notação de vetor unitário e como
© um módulo e
(d) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem a posição de um elétron dada por:
onde $ t $ está em segundos e $ \vec{r} $ em metros. O conteúdo aqui está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente à derivação de posição para velocidade. Vamos precisar usar cálculo diferencial para achar a velocidade a partir da posição.
Passo 2
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se $ \vec{r}(t) $ é a posição, então:
Vamos derivar cada componente da posição em relação a $ t $.
Passo 3
Derivando a componente $ \hat{i} $:
Derivando a componente $ \hat{j} $:
Derivando a componente $ \hat{k} $:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \vec{v} $ quando $ t = 2{,}00,s $. Substituindo $ t $ na expressão da velocidade:
Passo 5
Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
No nosso caso, $ v_z = 0 $, então:
Passo 6
Para encontrar o ângulo que a velocidade faz com o eixo $ x $, usamos a tangente do ângulo:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos o ângulo:
Como o ângulo negativo indica que está abaixo do eixo $ x $, podemos dizer que o ângulo é aproximadamente $ 79{,}3^\circ $ em relação ao sentido positivo do eixo $ x $.
Resposta
(a) A velocidade do elétron é $ \vec{v}(t) = 3{,}00,\hat{i} - 8{,}00,t,\hat{j} $. Em $ t = 2{,}00,s $, $ \vec{v}(2{,}00) = 3{,}00,\hat{i} - 16{,}00,\hat{j} $.
(b) Na notação de vetor unitário, a velocidade é $ \vec{v}(2{,}00) = 3{,}00,\hat{i} - 16{,}00,\hat{j} $.
© O módulo da velocidade é aproximadamente $ 16{,}28, m/s $.
(d) O ângulo da velocidade em relação ao sentido positivo do eixo $ x $ é aproximadamente $ 79{,}3^\circ $.