A posição de um elétron é dada por r = 3,00t i - 4,00t^2 j + 2,00k, com t em segundos e r em metros.
(a) Qual é a velocidade do elétron v(t)? Em t = 2,00 s, quanto vale v
(b) na notação de vetor unitário e como
© um módulo e
(d) um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem a posição de um elétron dada por:
r = 3,00,t,i - 4,00,t^2,j + 2,00,k
onde $ t $ está em segundos e $ \vec{r} $ em metros. O conteúdo aqui está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente à derivação de posição para velocidade. Vamos precisar usar cálculo diferencial para achar a velocidade a partir da posição.

Passo 2

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, se $ \vec{r}(t) $ é a posição, então:
r(t)
Vamos derivar cada componente da posição em relação a $ t $.

Passo 3

Derivando a componente $ \hat{i} $:
i
Derivando a componente $ \hat{j} $:
ddt(3,00,t) = 3,00
Derivando a componente $ \hat{k} $:
j
Então, a velocidade é:
ddt(-4,00,t^2) = -8,00,t

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \vec{v} $ quando $ t = 2{,}00,s $. Substituindo $ t $ na expressão da velocidade:
v
t = 2,00,s

Passo 5

Para encontrar o módulo da velocidade, usamos a fórmula da magnitude do vetor:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
No nosso caso, $ v_z = 0 $, então:
vz = 0
|v| = raiz3,00^2 + (-16,00)^2
|v| = raiz9,00 + 256,00
|v| = raiz265,00

Passo 6

Para encontrar o ângulo que a velocidade faz com o eixo $ x $, usamos a tangente do ângulo:
x
Substituindo os valores:
tan(theta) = vyvx
tan(theta) = -16,003,00
Agora, calculamos o ângulo:
tan(theta) = -5,33
theta = arctan(-5,33)
Como o ângulo negativo indica que está abaixo do eixo $ x $, podemos dizer que o ângulo é aproximadamente $ 79{,}3^\circ $ em relação ao sentido positivo do eixo $ x $.

Resposta

(a) A velocidade do elétron é $ \vec{v}(t) = 3{,}00,\hat{i} - 8{,}00,t,\hat{j} $. Em $ t = 2{,}00,s $, $ \vec{v}(2{,}00) = 3{,}00,\hat{i} - 16{,}00,\hat{j} $.
(b) Na notação de vetor unitário, a velocidade é $ \vec{v}(2{,}00) = 3{,}00,\hat{i} - 16{,}00,\hat{j} $.
© O módulo da velocidade é aproximadamente $ 16{,}28, m/s $.
(d) O ângulo da velocidade em relação ao sentido positivo do eixo $ x $ é aproximadamente $ 79{,}3^\circ $.

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